Demuestre que$\frac{f(x)}{x}$ es uniformemente continuo en$[1, +∞)$ si$f$ es Lipschitz

Question

Permita que$f(x)$ sea una función de Lipschitz en$[1, +∞)$, es decir, que exista una constante positiva$C$ tal que$$|f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|, ∀x, y ∈ [1, +∞).$ $

Demuestre que$\frac{f(x)}{x}$ es uniformemente continuo en$[1,+\infty)$.

Sé que una función de Lipschitz es uniformemente continua. Lo que hice hasta ahora es:

dejar $g(x) = \frac{f(x)}{x}$. Entonces asumí que$g(x)$ es Lipschitz. (¿La suposición es incorrecta?) Entonces$|g(x)-g(y)| \le K|x-y|$ satisface la condición de Lipschitz.

Por lo tanto $|\frac{yf(x)-xf(y)}{xy}| \le K|x-y|$.

¿Cómo continuar desde aquí?

Answer 1

La función$g(x) = \frac{f(x)}{x}$ es de hecho Lipschitz: Primero que nada, desde$$|f(x) - f(y)| \le C|x-y|$ $ poniendo$y=1$ da$$\tag{1} |f(x)| = |f(x) - f(1)+ f(1)|\le C|x-1| + |f(1)|.$ $ Ahora usando$(1)$ y$x, y\ge 1$,

$$ \begin{split} |g(x) - g(y)| &= \left| \frac{f(x)}{x} - \frac{f(y)}{y}\right| \\ &= \left| \frac{f(x)}{x} - \frac{f(y)}{x} + \frac{f(y)}{x} - \frac{f(y)}{y}\right| \\ &\le \left| \frac{f(x)-f(y)}{x}\right| + |f(y)| \left|\frac 1x - \frac 1y\right| \\ &\le |f(x) - f(y)| + |f(y)| \left|\frac{x-y}{xy} \right| \\ &\le C|x-y| + \frac{C|y-1| + |f(1)|}{|xy|} |x-y| \\ &\le C|x-y| + \left( C + |f(1)\right) |x-y| \\ &= K|x-y|, \end {split} $$

dónde $K = 2C + |f(1)|$. Por lo tanto,$g$ también es Lipschitz, por lo que es uniformemente continuo.

Answer 2

A continuación es incompleta prueba de que tal vez no sea el camino correcto a seguir.

Pero voy a postear todos modos (al menos temporalmente) de modo que se vea una forma de pensar/trabajar a través de estos problemas en general. El problema al final de esta prueba es que $|f(y)|$ no está necesariamente limitada por una constante, por lo que hemos podido encontrar una constante de Lipschitz.

$\left | \dfrac{f(x)}{x} - \dfrac{f(y)}{y} \right | $

$= \left | \dfrac{yf(x) - x f(y)}{xy} \right |$

$ = \left | \dfrac{yf(x) - yf(y) + yf(y)- x f(y)}{xy} \right |$

$ \leq \left | \dfrac{yf(x) - yf(y)}{xy} \right | + \left | \dfrac{yf(y)- x f(y)}{xy} \right |$

$= \left | \dfrac{f(x) - f(y)}{x} \right | + |f(y)|\left | \dfrac{y- x }{xy} \right |$

$\leq C\left | \dfrac{x - y}{x} \right | + |f(y)|\left | \dfrac{y- x }{xy} \right |$

$\leq \left (C + \dfrac{|f(y)|}{|y|} \right ) \left | \dfrac{x - y}{x} \right |$

$\leq \left (C + \dfrac{|f(y)|}{|1|} \right ) \left | \dfrac{x - y}{1} \right |$ (desde $x, y \in [1, \infty)$)

$= (C + |f(y)| ) \cdot |x - y|$