Yo quiero hacer una pregunta acerca de cómo mi estructuras algebraicas profesor define a la izquierda y a la derecha cosets. Yo voy a escribir aquí su manera de presentarlos.
Que hablamos por primera vez sobre el cociente de grupo. Deje $G$ ser un grupo, $H\leq G$, y queremos construir $G\ /\ H$. Miramos el caso particular de las $\mathbb{Z}\ /\ n\mathbb{Z}$ para hacer la generalización. Después de una pequeña explicación de este último grupo, se definieron dos relaciones: $\sim$$\approx$:
Deje $G$ ser un grupo. Deje $H\leq G$. Deje $g_1$ y $g_2$ $\in G$. Decimos que \begin{equation} g_1\sim g_2\ \ \text{ if }\ \ g_1\ g_2^{-1}\in H, \end{equation}
y
\begin{equation} g_1\approx g_2\ \ \text{ if }\ \ g_2^{-1}g_1\ \in H. \end{equation}
Después de eso, hemos demostrado que son las relaciones de equivalencia y, a continuación, se define el cociente de los grupos en los cuales estábamos interesados:
\begin{equation} G\ / \sim\ = G\ /\ H,\\ G\ / \approx\ = H\ \backslash\ G. \end{equation}
Decimos que $G\ /\ H$ es el conjunto de la derecha de clases de equivalencia (creo que en inglés se llama derecho coset) y, a continuación, $H\ \backslash\ G$ es la izquierda coset.
Ahora viene la parte que no entiendo:
Deje $g \in G\ /\ H$. La equivalencia de la clase de g es:
\begin{equation} [g]=\{ g'\in\ G \mid g' \sim g \}= \{ g' \in\ G \mid (g')^{-1} \in\ H\}=\{ g' \in\ G \mid g\in Hg \}= Hg \end{equation}
Las clases de equivalencia de los elementos de $H\ \backslash\ G$ son similares.
Mi pregunta es: ¿cómo se puede decir que
\begin{equation} \{ g'\in\ G \mid g' \sim g \}= \{ g' \in\ G \mid (g')^{-1} \in\ H\}? \end{equation}
Como que a mí respecta, $\ g'\sim g \implies g'g^{-1} \in\ H$. Él puede decir de esto que $(g')^{-1}\! \in H$?
Lo sentimos acerca de esta larga explicación, pero yo quería que usted sepa cómo mi profesor deducir estos cociente grupos, porque yo no he visto en ningún grupo de el libro de la teoría. Espero que usted entiende claramente, a pesar de mi inglés. Gracias!
