En busca de una topología

Question

Estoy buscando una manera de convergencia en subespacios.

Si $G_k(\mathbb{R}^m)=\{ W: W$ es el subespacio de $\mathbb{R}^m, \dim W=k \}$ y considerar en $G_k(\mathbb{R}^m)$ una topología $\tau$.

Me gustaría encontrar no trivial de la topología de la siguiente afirmación es verdadera:

$\lbrace S_k\rbrace \subset G_n(\mathbb{R}^m)$ converge a $S\in G_n(\mathbb{R}^m)$ sss para cada $k\in \mathbb{N}$ hay una base $\lbrace u^k_1,\ldots,u^k_n\rbrace$ $S_k$ tal que $\lbrace \displaystyle{\lim_{ k \rightarrow +\infty}}u^k_1,\ldots,\displaystyle{\lim_{ k \rightarrow +\infty}}u^k_n\rbrace$ es una base de $S$.

Todas las sugerencias son bienvenidas!

Nota: Pensé que la topología adecuada se $\tau$ donde $U\in \tau$ es abierto si el conjunto de $\widehat{U}=\lbrace v: v\in W\backslash \lbrace 0\rbrace, \mbox{for some} \ W\in U \rbrace$ está abierto en $\mathbb{R}^m$, pero como se muestra en el siguiente post no es cierto.

Answer 1

La topología inducida por la métrica $$d(X, Y) = \lVert P_X - P_Y \rVert$$ that you mentioned, where $P_X$ and $P_Y$ are respectively the orthogonal projections of $\mathbb R^m$ onto $X$ and $$ Y, funciona.

(Tenga en cuenta que esta topología es, de hecho, el estándar de la topología menciona Pedro Franek y otros en los comentarios a la pregunta. Si eres curioso acerca de la equivalencia de las diversas definición de esta topología, se puede comenzar con la sección en el artículo de Wiki y esta cuestión en MO. Pero esto no viene al caso. Todo lo que necesitamos es que el mapa de $X \mapsto P_X$ es una inyección de $G_n(\mathbb R^m) \hookrightarrow \mathbb R^{m\times m}$, por lo que el $G_n(\mathbb R^m)$ puede heredar la métrica de la topología en $\mathbb R^{m \times m}$ integrado subconjunto.)

Para ver por qué, utilizamos esta hermosa fórmula para la proyección: Si las columnas de a $A \in \mathbb R^{m \times n}$ formulario de una base de $X \in G_n(\mathbb R^m)$, luego $$P_{X} = A(A^\top A)^{-1} A^\top.$$ Note that this is a continuous function of $Un$. Hence, the convergence we have at the level of bases implies the convergence of the corresponding sequence of projections $P_{S_k}$ to $P_S$, and equivalently that of the sequence of spans $S_k$ to $S$.