Cómo calcular una tabla de caracteres a partir de sus funciones base

Question

Esta pregunta es en realidad una pregunta de tarea, me dan las funciones base de todas las representaciones irreducibles de $C_{2v}$ grupo, entonces se me pide que complete la tabla de caracteres de $C_{2v}$ grupo de puntos.

Por ejemplo, para $A_{1}$ representación irreducible, me dan las funciones base { $z$ , $x^2$ , $y^2$ , $z^2$ , $z^3$ , $z(x^2-y^2)$ que puedo elegir uno de ellos.

Mis preguntas son:

1. ¿Por qué tenemos que completar la tabla de caracteres a partir de esas funciones base? Simplemente utilizando los dos teoremas de ortogonalidad de los caracteres podemos completar fácilmente la tabla de caracteres.
2. ¿Cómo puedo utilizar las funciones base dadas para completar la tabla de caracteres? ¿Debo representar esas operaciones de simetría utilizando la base (x, y, z), y luego transformar la base a las dadas para calcular los caracteres? Creo que es demasiado tedioso.

Answer 1

Creo que ahora respondo a mi pregunta.

Aunque en principio, puedo calcular la tabla de caracteres completa totalmente a partir de los teoremas de ortogonalidad de los caracteres. A saber, necesito utilizar las dos relaciones:

$$\sum_{k} N_k\chi^{(\Gamma_i)}(C_{k})\chi^{*(\Gamma_j)}(C_k) =\delta_{ij}$$

$$\sum_{\Gamma_j}N_k\chi^{(\Gamma_j)}(C_{k})\chi^{*(\Gamma_j)}(C_{k'})= \delta_{kk'}$$

Pero en la práctica, no siempre es fácil utilizar estas dos relaciones para calcular los caracteres. Incluso para $D_3$ grupo que sólo tiene dos tres representaciones irreducibles, necesitamos una conjetura inicial adecuada si no queremos resolver el conjunto de ecuaciones.

Por otro lado, si conocemos las funciones base en primer lugar, entonces podemos obtener efectivamente los caracteres.

Por ejemplo, si queremos calcular los caracteres de $A_1$ de $C_{2v}$ grupo. En primer lugar, tengo que elegir una función base. Digamos que elijo $z$ como mi función base (he enumerado las funciones base de $A_1$ en mi pregunta), ya que la representación irreducible es de una dimensión, simplemente necesito ver cómo las operaciones cambiarán el signo de $z$ .

Hay cuatro clases para $C_{2v}$ grupo, y los representantes son $E$ , $C_2$ , $\sigma_v(xz)$ y $\sigma_{v}^{'}(yz)$

1. $E$ Es evidente que $E$ no cambiará el signo de $z$ , por lo que el carácter es 1.

2. $C_2$ El eje principal es $z$ , por lo que el carácter también es 1.

3. $\sigma_v(xz)$ Es un reflejo a través de $xz$ plano, pero no cambia el signo de $z$ , por lo que el personaje sigue siendo 1.

4. $\sigma_v^{'}(yz)$ Es un reflejo a través de $yz$ plano, el carácter también es 1.

Por lo tanto, basándonos en la discusión anterior sobre el uso de la función de base para calcular los caracteres, vemos que las funciones de base se pueden utilizar fácilmente para calcular los caracteres. Aunque el ejemplo es realmente trivial (podemos escribir los caracteres de $A_1$ incluso sin pensar), pero el ejemplo indica que si necesitamos calcular los caracteres de $A_2$ , no necesitamos resolver el conjunto de ecuaciones.