Número de clases de coniugacy de un grupo.

Question

Yo estaba pensando acerca de cómo calcular el número de coniugacy clases de un grupo de $G$, en particular, estoy interesado en el número de coniugacy clases de $GL_n(\mathbb{F}_p)$. Esto está claramente relacionado con el número de representaciones irreducibles de este grupo, pero buscando en internet, me enteré de que este es en realidad un "abierto" del problema.

Si el campo en el que estamos considerando nuestras matrices es algebrically cerrado, se puede usar un argumento como el de Jordan en la forma de atacar este problema, pero esto no funciona en $\mathbb{F}_p$.

Me puede sugerir algunos trabajos sobre este tema? He encontrado que no sólo son los límites superior e inferior para este número, pero no un comportamiento asintótico o algo así.

Dado un grupo general $GL_n(\mathbb{F}_p)$ ¿cuántas clases coniugacy hay?

¿Crees que esto es una pregunta para StackExchange o debo preguntar esto en el Desbordamiento? Cualquier sugerencia/papel actual de la investigación sobre este tema?

Gracias de antemano.

Answer 1

Usted puede tener una mirada en el Macdonald libro clásico "Simétrica funciones y Sala de polinomios," en el que este material está cubierto en detalle y se utiliza para dar una hermosa descripción de la irreductible de caracteres complejos de la general lineal de grupos en paralelo a la simétrica de la función descripción de los del grupo simétrico.

Si lo haces, verás que conjugacy clases de elementos de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{F}_q)$ son indexados por partición de funciones con valores de $$\lambda: \{ \text{irreducible monic polynomials} \ f \in \mathbf{F}_q[x], \ f \neq x \} \rightarrow \{\text{integer partitions} \} $$ que $$\sum_{f,i} \mathrm{deg}(f)\lambda(f)_i=n. $$ (Note in particular that only polynomials $f$ of degree at most $$ n realidad contribuyen a esta suma).

Este bijection se obtiene como sigue: dada una matriz de $g \in \mathrm{GL}_n(\mathbf{F}_q)$, respecto $V=\mathbf{F}_q^n$ como un módulo más de $\mathbf{F}_q[x]$ dejando $x$ actuar como $g$. La estructura teorema de los módulos a través de un dominio Euclídeo muestra que, en $\mathbf{F}_q[x]$-módulo, $$V \cong \bigoplus_{f,i} \mathbf{F}_q[x]/(f^{\lambda(f)_i})$$ for some partitions $\lambda(f)$. Esto define la bijection (uno comprueba que es de hecho un bijection).

En particular, la informática, el número de clases conjugacy para $n$ $q$ fijo, es necesario conocer el conjunto de monic polinomios irreducibles, y el conjunto de particiones. Considero que éste es sólo un poco más problemático que el de calcular el número de particiones de enteros de $n$ (y, presumiblemente, no se sabe asintótica fórmulas similares a la de Hardy-Ramanujan fórmula para el entero de las particiones).