Determinar un automorfismo interno a través de consultas

Question

Deje $G$ ser un grupo. Sabes que $\phi$ es de unos interior automorphism de $G$, yo.e, $\phi(x) = axa^{-1}$ algunos $a \in G$ se determina únicamente modulo el centro del grupo. No estás seguro de lo $a$ es, pero usted tiene una máquina que por arte de magia puede calcular $\phi(x)$ en los valores individuales de $x$. Hay un buen algoritmo o procedimiento para averiguar lo $a$ (módulo del centro) haciendo consultas para esta máquina?

Realmente me gustaría estar interesado en las respuestas para las estructuras con las nociones de interior de automorfismos. Una aplicación que me interesa es la siguiente: Supongamos $\phi$ es algunos automorphism de una central de simple álgebra sobre un campo que tengo alguna buena descripción de lo que hace que sea fácil de calcular. Por el Skolem-Noether Teorema, sé que $\phi$ es en realidad interior. Puedo averiguar a qué elemento $\phi$ conjugados?

Answer 1

Usted podría pedir que los valores de $\phi$ en la generación de un conjunto de $G$ de tamaño más pequeño posible. Que determinaría $\phi$ y, por tanto, $a$ modulo el centro. Es poco probable que usted va a encontrar una mejor solución general de que.

De curso en grupos específicos, usted podría ser capaz de calcular el $a$ con menos imágenes. El caso extremo es cuando $G$ es abelian, cuando no es necesario que me las consultas, y cualquier elemento $a$ es una respuesta correcta.

Por lo que tendría que restringir la clase de los grupos de $G$ bajo consideración. Supongo que usted está buscando para una de las colecciones de elementos $x_i$ $G$ de manera tal que la intersección de sus centralizadores es el centro de la $G$.