Si $f : X \to Y$ es una función continua y fijamos puntos base $x_0 \in X$ $y_0 = f(x_0)\in Y$, entonces el $f$ induce un homomorfismo de grupo %#% $ de #% entre los grupos fundamentales de $$f_*: \pi_1(X, x_0) \to \pi_1(Y, y_0)$ y $(X, x_0)$. Me preguntaba si hay algún tipo de propiedad recíproca, es decir:
¿Si $(Y,y_0)$ es un homomorfismo, es cierto que $\psi : \pi_1(X,x_0) \to \pi_1(Y,y_0)$ $\psi = f_*$ función continua?
No en general, son obstrucciones.
Una discusión acerca de este interesante problema está contenida en la pregunta de MathOverflow 166153.
La pregunta en el título de tu post y la pregunta en el cuerpo son diferentes. Si usted comienza con espacios de $X$ $Y$ y un homomorphism de$\pi_1(X,x_0)$$\pi_1(Y, y_0)$, entonces hay obstáculos, como Francesco dice. Y esto es probablemente lo que usted tenía en mente.
Sin embargo, valdría la pena señalar que si usted comienza con un resumen homomorphism $\phi:G\to H$, entonces usted puede construir espacios de $X$$Y$$\pi_1(X,x_0)=G$$\pi_1(Y,y_0)=H$, y una función continua $f:X\to Y$ tal que $f_*=\phi$. Es decir, usted puede tomar X e y para ser Eilenberg Maclane espacios para G y H, respectivamente. Ver Hatcher la página 90 para obtener más detalles.
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