Dos amigos A, B quieren compartir una pizza (circular), jugando a un juego.
A hace un corte (en línea recta)
B también hace un corte
A hace otro corte y
B hace el último corte.
Ahora alternan turnos eligiendo una rebanada a la vez hasta la última, empezando por la A.
¿Tiene B una estrategia (al menos) para no comer menos pizza?
Creo que la clave es hacer trozos iguales, es decir, dividir la pizza en pares de trozos de igual superficie.
Sí, $B\;$ puede lograr la igualdad.
Supongamos que a los jugadores no se les permite no hacer ningún corte (es decir, pasar), sino que se les permite hacer un corte que coincida con un corte anterior.
Después de $A$ de la primera corte, deja que $B\;$ hacer un corte, $l\;$ digamos, a lo largo de la bisectriz perpendicular de $A$ de la corte.
A partir de entonces, por cada corte que $A\;$ hace, que $B\;$ hacer un corte simétrico sobre $l\;$ a $A's$ corte (es decir, el mismo corte que $A$ salvo que se refleje sobre la línea $l$ ). Nota: Puede coincidir con $A$ de la corte.
Se deduce que cada pieza final aparece con multiplicidad par, hasta la congruencia, por lo que en el peor de los casos, como $A\;$ elige las piezas, $B$ La siguiente elección de la empresa puede, al menos, coincidir.
¡¡Wow muchas gracias por su solución!! Entiendo los dos primeros cortes: así tenemos 4 piezas, iguales por dos. ¿Puedes explicar el resto? ¿Cómo hace B un corte simétrico respecto a l del corte de A?
¡Buena respuesta! Obsérvese que si el segundo corte de A es simétrico respecto al primer corte de B, entonces eso significa que el segundo corte de B puede ser realmente cualquier otro corte simétrico respecto al primer corte de B, por lo que el segundo corte de B no tiene por qué coincidir con el segundo corte de A en ese caso.
Para ilustrar @quasi La respuesta es excelente:
Después de esto, $A$ y $B$ pueden turnarse para coger el siguiente trozo más grande y acabar con media pizza cada uno.
@Jam yo hubiera preferido la salchicha italiana :) Hablando de eso, el problema se vuelve más interesante si se tienen en cuenta los aderezos: ¿cómo se asegura B de recibir la misma cantidad de pepperoni que A?
Como en muchos juegos de cartas (bridge, whist, 500, etc.), hay una fase de puja/corte y una fase de juego/selección.
La estrategia requerida se reduce a la etapa de corte único/final - en la que el siguiente jugador puede elegir una pieza y, por lo tanto, la mejor estrategia para el corte es asegurar que exista una partición igual (como sugiere OP). En este caso, como A siempre elige primero, B tiene que asegurar el equilibrio. Con N rondas, el criterio obvio de partición igual es que exista una partición en dos conjuntos de N piezas con igual área total. Dejar 2N-1 piezas es malo porque A siempre puede elegir al menos una pieza tan grande como la que obtendrá B (selección codiciosa), y entonces obtiene una pieza extra al final.
La forma obvia de lograr el criterio de partición igual es que B siempre corte para lograr una simetría reflexiva uniforme (como lo explica @quasi y lo ilustra @jam). Obsérvese que B debe lograr siempre un número par de piezas, por lo que el primer corte de B debe dividir los dos segmentos dejados por A asegurando tamaños iguales para cada etapa de selección, ya que A siempre puede ser codicioso y adelantarse, y B tiene que ser capaz de ponerse al día inmediatamente o nunca lo hará (dado que A adopta una estrategia codiciosa).
Por lo tanto, una estrategia de selección codiciosa también es apropiada para B: tomar siempre la pieza más grande que queda.
¿Qué ocurre si A alcanza el criterio de partición simétrica igual? Entonces si B puede no hacer ningún corte o repetir un corte que es una solución, de lo contrario cualquier corte perpendicular al eje mantiene el criterio.
Obsérvese que se trata de una estrategia ligeramente más general (necesaria y suficiente) que la de cuasi (para la generalización a N pares de cortes). Por ejemplo, a veces será posible hacer cumplir la simetría par a lo largo de otro eje que el primer corte de B - por ejemplo, el primer corte de A si es un diámetro.
Tenga en cuenta que estoy familiarizado con otras formas de este problema (literalmente - mi familia utilizó este enfoque para los "pasteles" más a menudo que las tartas o pizzas, por no hablar de los problemas relacionados para el "tesoro" donde dividir en lugar de cortar).
Al menos 2 personas, pero el corte en línea recta no tiene por qué ser una línea sin límites, sino que puede, por ejemplo, crear un sector (corte hasta un centro aproximado en el que ya hay un corte hasta el centro o a través de él, por ejemplo, un diámetro aproximado - utilizado con pasteles redondos). Una vez que se ha realizado un corte inicial, cualquiera puede optar por tomar un trozo en lugar de cortarlo.
Al menos 2 personas, pero cada barra la última haciendo un solo corte, la última eligiendo primero y el resto eligiendo en el mismo orden (siempre tendrán al menos una porción para elegir que consideren justa o mejor si cortan para hacer un segmento justo (generalmente un problema que involucra la torta rectangular y hacer cortes de ancho completo).
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
3 votos
¿Se puede doblar la pizza?
1 votos
¿Cómo se define un corte? ¿Es necesario que pase por el centro de la pizza? ¿Debe hacerse perpendicular a la superficie de la pizza?