Demostrar $\det(\mathbf I+\mathbf A^T\mathbf A) = \det (\mathbf I+\mathbf A\mathbf A^T)$

Question

Dada una matriz $\mathbf A\in \mathbb R^{m\times n}$ y una matriz de identidad $\mathbf I$ de las dimensiones adecuadas, ¿cómo se puede demostrar $\det(\mathbf I+\mathbf A^T\mathbf A) = \det (\mathbf I+\mathbf A\mathbf A^T)$?

Answer 1

Considere que el producto $$\left(\begin{matrix}I_m&0_{m\times n}\\A^T&I_n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}I_m+AA^T&A\\0_{n\times m}&I_n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}I_m&0_{m\times n}\\-A^T&I_n\end{matrix}\right);$$ use the facts that $\det(AB)=\det(A)\det(B)$ y que el determinante de un bloque triangular de la matriz es el producto de los determinantes de la diagonal de bloques.

Answer 2

Esto se deduce de la relación entre los valores singulares de a $A$ y los autovalores de a$AA^T$$A^TA$. Estos últimos son el mismo, excepto el más grande de los dos tiene más ceros. Ya que ambas son simétricas, puede diagonalize ellos (que por supuesto mantiene el $I$ diagonal) y, a continuación, los dados son los factores determinantes de $\prod_i(1+\lambda_i)$, y el cero de más autovalores de la gran matriz no hacen una diferencia.