Evaluando la siguiente integral: $\int\frac1 {x^3+1}\, \mathrm {d}x$

Question

Cómo integrar $$\int\frac1 {x^3+1}~ \mathrm {d}x$$

¿Es posible usar la expansión de Taylor?

Answer 1

Pista:

$$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$$

Ahora, usa fracciones parciales.

Answer 2

Si $x^3 + 1=0$ entonces $x^3=-1$ así que $x=-1$ al menos si $x$ es real.

Si se enchufa $-1$ en el $x$ en un polinomio y obtener $0$ Entonces $x-(-1)$ es un factor de ese polinomio.

Así que tienes $x^3+1=(x+1)( \cdots\cdots\cdots\cdots )$ .

El segundo factor se puede encontrar por división larga u otros medios. Se trata de $x^2-x+1$ .

¿Se puede tener en cuenta eso? Resolviendo la ecuación cuadrática $x^2-x+1=0$ produce dos soluciones no reales, conjugadas complejas entre sí.

Hacer aritmética o álgebra con números complejos es, en muchos sentidos, como hacer lo mismo con números reales. Pero hacer cálculos con números complejos abre algunas latas de gusanos que se tratan en cursos más avanzados. Con los números reales, el polinomio cuadrático $x^2-x+1$ es irreducible, es decir, no puede ser factorizado. La forma más rápida de verlo es observando que el discriminante $b^2-4ac$ es negativo. Una forma que no es tan rápida pero que puede dar alguna idea es completar el cuadrado: $$x^2-x+1 = \left ( x- \frac12\right )^2 + \frac 3 4.$$ Obviamente esto nunca puede ser $0$ cuando $x$ es real, así que esto no puede ser factorizado con números reales.

Así que $$\frac {1}{x^3+1} = \frac {A}{x+1} + \frac {Bx+C}{x^2-x+1}$$ y luego tienes que encontrar $B$ y $C$ .

Ahora aparece otra dificultad: Cómo encontrar $$\int \frac {Bx+C}{x^2-x+1} \,dx \text { ?}$$ Deje que $u=x^2-x+1$ para que $du = (2x-1)\,dx$ y tú eres parte de ello: $$(Bx+C)\,dx = \underbrace { \frac B 2 (2x-1)\,dx} + \left (C + \frac B2 \right )\,dx.$$ La sustitución maneja la parte sobre la $\underbrace { \text {underbrace}}$ . ¿Y la otra parte? Tienes $$\text {constant} \cdot\int \frac {dx}{x^2-x+1}.$$ Completa el cuadro: $$\int \frac {dx}{ \left (x - \frac 12 \right )^2 + \frac 3 4}.$$ Empieza a recordarte un arctangente, pero tienes $3/4$ donde se necesita $1$ .

$$\int \frac {dx}{ \left (x - \frac 12 \right )^2 + \frac 3 4} = \frac 4 3 \int \frac {dx}{ \frac43\left (x- \frac12\right )^2+1}$$

Ahora $$\frac43\left (x- \frac12\right )^2+1 = \left ( \frac {2x-1}{ \sqrt {3}} \right )^2+1$$

Así que deja $w= \dfrac {2x-1}{ \sqrt {3}}$ y $\sqrt {3}\,dw=dx$ y luego casi terminas.