¿Por qué usamos $2\cos\theta=\sqrt3$ $x^{72}+x^{66}$ dado que $x+\frac1x=\sqrt3$ de encontrar?

Question

$x + \frac{1}{x} = \sqrt 3$ entonces encontrar el valor de $x^{72}+x^{66}$.

Mi profesor dijo que en este caso, donde $x + \frac{1}{x}$ es igual a cualquier valor que es menor que $2$, $1$ o $\sqrt{3}$, sólo pone este valor en igual de $2 \cos \theta$ y después se hacen valor de $\theta$ después de dividir el valor $180$ por ese valor de theta y después de conseguir el resultado poner ese resultado en la ecuación $x^n + 1=0$, como '$n$'.

Por favor explique cuál es el concepto básico detrás de esto.

Answer 1

Si $$x+\dfrac{1}{x} = 2\cos\theta$$

entonces

$$x^{n}+\dfrac{1}{x^n} = 2\cos(n\theta)$$

Una manera de probar esto es con un concepto conocido como la inducción matemática, que puede que no esté listo para hacer/entender todavía. Si queréis leer para arriba en él, de intentarlo, sería un poco más fácil probar el equivalente a: Si $x^2+1 = 2x\cos\theta$$x^N+1 = x^{2n}+1 = 2x^n\cos(n\theta)$.

$$x^{72}+x^{66} = x^{66}(x^6+1)$$

Así que estamos interesados en el caso en que $N=6$.

Si $x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{3}$, entonces podemos resolver

$$2\cos(\theta) = \sqrt{3} \iff \cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Por lo $\theta = 30^o$ (hay otras posibilidades). Sospecho que el más pequeño ángulo agudo es lo que se desea (yo realmente no entiendo la necesidad de toda la $180^o$ cosa, yo pensaba que mi respuesta anterior era más claro y conciso).

$\dfrac{180^o}{30^o} = 6 = N = 2n$.

Desde $x^{2}+1 = 2\cos\theta$ implica $x^{2n}+1 = 2x^n\cos(n\theta)$ hemos

$$x^6 + 1 = 2x^3\cos(3\cdot 30^o) = 2x^3\cdot\cos(90^o) = 2x^3(0)=0$$

$$x^{72}+x^{66} = x^{66}(x^6+1) = x^{66}(0)=0$$

Answer 2

Posiblemente lo que tu profesor significa es esto:

Que $x=e^{i\theta}$ así que % $ $$x+\frac 1x=e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta=\sqrt{3}$

Por lo tanto $$\theta=\pm\frac{\pi}{6}+n.2\pi$ $

Tenga en cuenta que $30=\frac{180}{\color{red}{6}}$

Así $$x^{72}+x^{66}=x^{66}(x^{\color{red}{6}}+1)=x^{66}(-1+1)=0$ $

Answer 3

Tenemos que resolver la ecuación de $\ x+\frac{1}{x}=a$. Esto conduce a la ecuación

$$x^2-ax+1=0$$

Si $\ 0\le a<2$, las soluciones deben ser complejas.

Si $u+vi$ es una de las soluciones, la otra es $u-vi$. Así, los valores absolutos de las soluciones son iguales y se multiplican a $1$. Por lo tanto, todas las soluciones de esta ecuación tiene valor absoluto $1$.

Si el ángulo que se forma por una solución es un divisor de a$180$,$k\cdot\theta=180$. Esto significa que, cada solución de la ecuación satisface $x^k=-1$.

En el ejemplo dado, el ángulo es $30°$, lo que significa $k=6$, por lo que cada solución satisface $x^6=-1$

Esta muestra de inmediato $x^{72}+x^{66}=0$

Lo que queda es : ¿por Qué tomamos $\ 2cos\theta=a$ ?

La suma de las soluciones debe ser $a$, por lo que la parte real de ambas soluciones es $u=\frac{a}{2}$. El valor absoluto de las soluciones es $1$, por lo que tenemos $u=cos(\theta)$ y, por tanto,$a=2cos(\theta)$.

Answer 4

Considerar $$ x + \frac {1} {x} = a $$ $-2< a< 2$ y set $a=2\cos\theta$. Existen dos valores de $\theta$ $[0,2\pi)$ satisfacción de esta relación, llaman $\theta_1$ y $\theta_2$. Entonces $x_1=\cos\theta_1+i\sin\theta_1$ y $x_2=\cos\theta_2+i\sin\theta_2$ son distintas raíces de la ecuación, que es de grado dos, por lo que son las raíces.

$a=\pm2$ El discriminante es cero, por lo que la ecuación tiene una raíz doble, con un valor de $\theta$.

En su caso, $\theta=\pm\frac{\pi}{6}$, que $x^6=-1$.

Answer 5

Tal vez el maestro significaba que sólo tienes que seguir sus instrucciones y no hacer preguntas.

De lo contrario, el "concepto básico detrás de este" sólo puede ser explicado en términos de números complejos. Como otros han señalado una $x$ que satisface la ecuación dada tiene que ser compleja. Por tanto podemos escribir $$x=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$ with $r\geq0$ and $\sin\theta\ne0$. Then ${1\over x}={1\over r}(\cos\theta-i\sin\theta)$, de modo que tenemos que cumplir $$\sqrt{3}=x+{1\over x}=\left(r+{1\over r}\right)\cos\theta+i\left(r-{1\over r}\right)\sin\theta\ .$$ Como $\sqrt{3}$ es real lo que sigue es que $r-{1\over r}=0$, por lo tanto $r=1$, y, a continuación, que $2\cos\theta=\sqrt{3}$ o $$\theta=\pm30^\circ=\pm{\pi\over6}\quad({\rm modulo}\ 2\pi)\ .$$ De esto podemos deducir que $$x^6=\cos(6\theta)+i\sin(6\theta)=\cos\pi+i\sin\pi=-1\ ,$$ y esto implica $$x^{72}+x^{66}=(-1)^{12}+(-1)^{11}=1+(-1)=0\ .$$