Pares de grafos $(M_1, M_2)$ $\mathcal C(M_1) = \mathcal B(M_2)$

Question

Que $M$ ser un matroid en (finito) tierra set $E$ $\mathcal B(M)$ como un conjunto de bases y $\mathcal C(M)$ como un conjunto de circuitos.

Si consideramos el uniforme matroid $U_{m,n}$ $m,n \in \mathbb N$ $m < n$, vemos que el $\mathcal C(U_{m,n}) = \mathcal B(U_{m+1,n})$.

Pregunta: ¿hay cualquier otros par $(M_1, M_2)$ de grafos con $\mathcal C(M_1) = \mathcal B(M_2)$ que no uniforme?

Answer 1

Sí que hay más pares. Sabemos que podemos especificar un matroid por su conjunto de circuitos y bases.

Ahora sea $$B=C=\{X\subset\{1,2,3\}| |X|=2\}$ $ ahora considerar el % de grafos $$M_1=(\{1,2,3,4\},\text{bases}=B)$$ $$M_2=(\{1,2,3,4\},\text{circuits}=C)$ $ así $M_1$ $M_2$ tienen subyacente conjunto $\{1,2,3,4\}$ y hay bases resp circuitos especificados como arriba. Estos no será uniforme grafos, pero por definición tienen la propiedad requerida.