Supongamos que estás trabajando con el axioma de elección. Si usted elige al azar un subconjunto de la línea verdadera, ¿cuál es la probabilidad de que sea mesurable?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una manera razonable para seleccionar un subconjunto aleatorio $A$ de la línea real podría ser la siguiente. Para cada una de las $t\in\mathbb{R}$, decidir (de forma independiente para cada una de las $t$) para poner $t$ $A$ o no, cada uno con una probabilidad de 1/2. Esto es lo que @mjqxxxx sugerido.
Para hacer este preciso, para cada una de las $t\in\mathbb{R}$, teniendo la base de Bernoulli 1/2 de probabilidad de espacio: $\Omega_t=\{0,1\}$, $\mathcal{F}_t=2^\Omega$, y $P_t$ está definido por $P_t(\{0\})=P_t(\{1\})=1/2$. La probabilidad general de que el espacio es el producto de estos: $\mathbb{X}=\prod_{t\in\mathbb{R}}\Omega_t$, $\mathbb{F}=\bigotimes_{t\in\mathbb{R}}\mathcal{F}_t$, y $\mathbb{P}$ es el producto de la medida. Tenga en cuenta que $\mathbb{X}$ es la colección de todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}$, es decir, el juego de poder de $\mathbb{R}$.
Deje $\mathcal{M}\subset\mathbb{X}$ denotar la colección de Lebesgue medibles conjuntos. (Lo mismo se puede hacer para Borel medible conjuntos). Nos gustaría calcular $\mathbb{P}(\mathcal{M})$.
Por desgracia, como se muestra a continuación, $\mathcal{M}\notin\mathbb{F}$, y por lo $\mathbb{P}(\mathcal{M})$ es indefinido. En otras palabras, el conjunto de medir conjuntos no medibles, por lo que no podemos hablar de la probabilidad de que un conjunto aleatorio es medible. (Al menos no en este modelo).
Para demostrar esto, definimos $\pi_t:\mathbb{X}\to\{0,1\}$$\pi_t(A)=1_A(t)$. A continuación, $\pi_t$ son las proyecciones, y, por definición, $\mathbb{F}=\sigma(\pi_t:t\in\mathbb{R})$. Por la Proposición 4.6 en la "Probabilidad y el Estocástico" por Erhan Çinlar, una función de $F:\mathbb{X}\to\mathbb{R}$ es medible si y sólo si existe una secuencia $(t_n)$ $\mathbb{R}$ y una función medible $f:\{0,1\}^\infty\to\mathbb{R}$ tal que $$ F(A) = f(\pi_{t_1}(A), \pi_{t_2}(A), \ldots), $$ para todos los $A\in\mathbb{X}$.
Ahora supongamos $\mathcal{M}\in\mathbb{F}$ y definen $F=1_{\mathcal{M}}$. Elija una secuencia $(t_n)$ y una función medible $f$ tal que $$ 1_{\mathcal{M}}(A) = f(\pi_{t_1}(A), \pi_{t_2}(A), \ldots), $$ para todos los $A\in\mathbb{X}$. Deje $B=\{t_1,t_2,\ldots\}$. Desde $B$ es contable, es Lebesgue medible, y así $$ 1 = 1_{\mathcal{M}}(B) = f(\pi_{t_1}(B), \pi_{t_2}(B), \ldots) = f(1,1,\ldots). $$ Deje $C$ ser cualquiera que no se pueden medir conjunto. Desde $t_n\in C\cup B$ todos los $n$, tenemos $$ 1_{\mathcal{M}}(C\cup B) = f(\pi_{t_1}(C\cup B), \pi_{t_2}(C\cup B), \ldots) = f(1,1,\ldots) = 1, $$ y por lo $C\cup B$ es medible. Pero $C^c\cap B$ es contable, y por lo tanto medible, de la que podemos deducir que $$ C = (C\cup B) \cap (C^c \cap B)^c $$ es un conjunto medible, lo cual es una contradicción.
Editar:
Quería añadir alguna información adicional que fue demasiado para un comentario, y que por cierto también se aborda el comentario de @Hendrik.
Uno podría preguntarse si podemos encontrar una apreciable colección de $\mathcal{A}$ tal que $\mathcal{A}\subset\mathcal{M}$. Si podemos y si, por ejemplo, tenemos $\mathbb{P}(\mathcal{A})=1$, entonces podemos decir que el conjunto aleatorio es casi seguramente medibles. Pero debe ser sencillo adaptar la anterior prueba para demostrar que si $\mathcal{A}\in\mathbb{F}$$\mathcal{A}\subset\mathcal{M}$,$\mathcal{A}=\emptyset$. Del mismo modo, si $\mathcal{A}\in\mathbb{F}$$\mathcal{M}\subset\mathcal{A}$,$\mathcal{A}=\mathbb{X}$.
Se sigue de esto que $\mathcal{M}$ no está en la realización de este espacio de probabilidad. Para ver esto, supongamos que $\mathcal{M}=\mathcal{A}\cup\mathcal{N}$ donde $\mathcal{A}\in\mathbb{F}$ $\mathcal{N}\subset\mathcal{B}$ algunos $\mathcal{B}\in\mathbb{F}$ satisfacción $\mathbb{P}(\mathcal{B})=0$. A continuación,$\mathcal{A}\subset\mathcal{A}\cup\mathcal{N}=\mathcal{M}$, lo que implica $\mathcal{A}=\emptyset$. Por lo tanto, $\mathcal{M}=\mathcal{N}\subset\mathcal{B}$, lo que implica $\mathcal{B}=\mathbb{X}$. Pero esto contradice $\mathbb{P}(\mathcal{B})=0$.
