Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie compacto que actúa sobre un espacio topológico $X$ .
Necesito mostrar que el mapa de la órbita $p:X\rightarrow X/G$ tiene la propiedad de propiedad de elevación .
Aquí está la prueba -
Dejemos que $f:I\rightarrow X/G$ sea un camino en $X/G$ . Sea $G$ actúan trivialmente sobre $I$ .
Considere $f^*X$ el pullback de $X$ a través de $f$ . Es decir $f^*X=\{(x,y)\in X\times I : p(x)=f(y)\}$ . Sea $p':f^*X\rightarrow X$ sea la proyección a la primera coordenada.
Entonces $f^*X$ tiene un natural $G$ acción y el espacio orbital $(f^*X)/G\cong I$ . Así, tenemos una sección $\sigma:I\rightarrow f^*X$ (una sección para la proyección $p:X\rightarrow X/G$ es un mapa continuo $\sigma:X/G\rightarrow X$ tal que $p\circ \sigma =id_{X/G}$ )
Así que el mapa $p'\circ\sigma:I\rightarrow X$ es una elevación de $f$ y hemos terminado.
No veo dónde hemos utilizado el hecho de que $G$ es un grupo de Lie compacto en esta prueba
Según tengo entendido, podemos definir el pullback o las secciones en el contexto de cualquier grupo topológico $G$ actuando en un espacio topológico $X$ . ¿O me equivoco?
Gracias.
