Problemas comprensión $\lim_{z \to 0} \frac{1}{z} = \infty$ complejo

Question

¿Es verdad, que %#% $ $$\lim_{z \to 0} \frac{1}{z} = \infty$ #%?

Tengo algunos problemas con una definición de esto. Sé que en $z \in \mathbb{C}$ tenemos solamente un punto en el infinito a diferencia de en $\mathbb{C}$ donde tenemos $\mathbb{R}$. ¿Podría alguien proporcionarme una definición por encima del límite de la?

Answer 1

Límite $\lim_{z\to 0}\frac1z =\infty$ significa que todos $B>0$, existe un $\delta>0$ tal que $$\left|\frac{1}{z}\right|>B$$whenever $0 < | z | < \delta$.

$\delta=1/B$, Hemos terminado.

Answer 2

Si $z = x+iy$, $\frac1{z} = \frac1{x+iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2} = \frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} $.

Si $y = \sqrt{x}$, entonces, como $x \to 0$, $\frac1{z} = \frac{x}{x^2+x}-i\frac{\sqrt{x}}{x^2+x} \approx 1-i\frac {1} {\sqrt {x}} $, por lo que limita la parte real mientras que la parte imaginaria se sopla para arriba.

Del mismo modo, si $x = \sqrt{y}$, la parte imaginaria está limitada mientras que la parte real sopla para arriba.

En todos los casos, hace saltar la magnitud de $\frac1{z}$ $|z| \to 0$.