Relación entre círculos tocar Círculo inscrito

Question

Estoy tratando de obtener a una relación entre el radio de los círculos exteriores y radio del círculo inscrito. Los círculos exteriores son tangentes a los lados respectivos y Círculo inscrito.

He intentado y he fracasado miserablemente. Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Esta es la más extendida de que la sugerencia de que una respuesta, pero se estaba haciendo demasiado largo para un comentario.

Mira en la esquina inferior izquierda. La bisectriz de un ángulo pasa a través de los centros de la circunferencia inscrita y el círculo más pequeño. Si usted mira los triángulos, que son cortados por la bisectriz, uno de los lados del triángulo, y los radios de dos círculos que serán similares triángulos rectángulos.

Si usas $d$ de la distancia del vértice al centro del círculo pequeño, usted debería ser capaz de expresar esto en términos de los radios de los círculos. Cuando se han eliminado los $d$ usted debe obtener una relación que le permite expresar el radio más pequeño en términos de la inradius y la mitad del ángulo en el vértice.

Answer 2

Usted puede utilizar Descartes 4 Círculos Teorema. De Descartes teorema dice: Si cuatro círculos son tangentes entre sí en seis puntos distintos y los círculos se han curvaturas $k_i$ ( $i = 1,\cdots, 4$ ), $k_i$ satisface la siguiente relación: $$ (k_1+k_2+k_3+k_4)^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_4^2), $$ donde $k_i=\pm\dfrac{1}{r_i}$, $r_i$ es el radio del círculo. La ecuación también se puede escribir como: $$ k_4=k_1+k_2+k_3\pm2\sqrt{k_1k_2+k_2k_3+k_1k_3}, $$ o $$ \frac{1}{r_4}=\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_3}\pm2\sqrt{\frac{1}{r_1r_2}+\frac{1}{r_2r_3}+\frac{1}{r_1r_3}}. $$ La generalización a $n$ dimensiones o variables se conoce como el Soddy–Gosset teorema. $$ \left(\sum_{i=1}^{n+2}k_i\right)^2=n\sum_{i=1}^{n+2}k_i^2. $$ Para una explicación detallada y completa prueba de Descartes teorema (también para responder a su pregunta), usted puede consultar a estos sitios: 1, 2, o la descarga de este diario. $$\\$$

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$$\large\color{blue}{\text{# }\mathbb{Q.E.D.}\text{ #}}$$