Mostrar que un ideal es unramified

Question

Ver Temas Avanzados en curvas elípticas para la pregunta completa(véase también fe de erratas: http://www.math.brown.edu/~jhs/ATAEC/ATAECErrata.pdf):

2.30 (página 184) Determinado $E/L$ una curva elíptica con complejo de la multiplicación por el anillo de los enteros $R_K$$K$. Suponga que $L$ no contiene $K$. Deje $L'=LK$, lo $L'$ es una ecuación cuadrática de la extensión de $L$, y deje $\mathfrak{P}$ ser una de las primeras de $L$. Suponga que $E$ tiene buena reducción en $\mathfrak{P}$. Demostrar que $\mathfrak{P}$ es unramified en $L'$.

Creo que debería estar usando el teorema de que $\mathfrak{P}$ ramifies en $L'$ $\iff$ $\mathfrak{P} \mid \text{disc}(L'/L)$, pero, ¿cómo puedo demostrar que $\mathfrak{P}\nmid 2$? Creo que sería necesario utilizar una buena reducción, pero no estoy seguro de cómo. Gracias por su ayuda de antemano!

Answer 1

Respondiendo a mi propia pregunta:
En primer lugar, voy a responder a algo de los comentarios: $L'$ es un quad extensión de $L$ (véase Silverman Aritmética de Curvas Elípticas III.9.4)

Ahora vamos a $\rho\in\text{Aut}(L'/L)$.

Reivindicación 1: $K\subseteq L$ si y sólo si cada elemento de a $\text{End}(E)$ se define sobre $L$.
$\blacktriangleleft$Deje $\sigma$ ser un automorphism de la clausura algebraica $\overline{L}$$L$. La elección de $\omega$ los invariantes diferenciales definidas sobre $L$, $$\omega[\alpha]^{\sigma}=\alpha^{\sigma}\omega$$ donde $[\cdot]$ se define en ATAECII.1.1 como un isomorfismo tal que $(E,[\cdot])$ está normalizada. Por lo $[\alpha]^{\sigma}=[\alpha]$ si y sólo si $\alpha^{\sigma}=\alpha$ lo que nos da el resultado. $\blacktriangleright$

Reivindicación 2: Si $\mathfrak{P}$ ramifies en $L'$, entonces el efecto de $\rho$ es trivial en el que el residuo de campo de la clase.
$\blacktriangleleft$ Ver Probar automorphism es trivial $\blacktriangleright$

Reivindicación 3: $\text{End}(E)\rightarrow\text{End}(\tilde{E})$ es inyectiva.
$\blacktriangleleft$ Ver Silverman del AECVII.2.1 $\blacktriangleright$

Ahora sabemos, a partir de la reivindicación 1 que existe un endomorfismo $f\in\text{End}(E)$ definido a lo largo del $L'$ pero no $L$. Así que tenemos $f^{\rho}\neq f$. Si $\mathfrak{P}$ ramifies en $L'$, entonces el efecto de $\rho$ es trivial en el que el residuo de campo de la clase (la reivindicación 2), por lo que la reducción de mod $\mathfrak{P}$ da $\widetilde{f^{\rho}}=\widetilde{f}$. Pero esto se contradice con la inyectividad de la reducción de la mapa en $\text{End}(E)$ (reivindicación 3). Por lo tanto $\mathfrak{P}$ es unramified.