¿Por qué $AX=0$ tiene solamente la solución trivial cuando $A=\left(\int_a^b g_i(x)g_j(x)dx\right)$?

Question

El sistema es $AX=0$, donde

$$ A_ {m\times m} =\begin{pmatrix} \int_a^bg_1(x)g_1(x)dx & \cdots & \int_a^bg_1(x)g_m(x)dx \\ \vdots & & \vdots \\ \int_a^bg_m(x)g_1(x)dx & \cdots & \int_a^bg_m(x)g_m(x)dx \end{pmatrix}, $$

\Mathbb{R}^m,$$ $$X=\begin{pmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_m \end{pmatrix},0=\begin{pmatrix} 0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix}\in

y $g_1,...g_n:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ funciones continuas linealmente independientes.

He leído que este sistema tiene una única solución, pero no soy capaz de demostrarlo.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia. (Presumiblemente $g_1,g_2,\ldots,g_m$ son linealmente independientes en $[a,b]$ más que en $\mathbb{R}$, de lo contrario $A$ puede ser singular.) El integrando es la matriz $\mathbf{g}(x)\mathbf{g}(x)^T$ donde $\mathbf{g}(x)=(g_1(x),\ldots,g_m(x))^T$. Si $A\mathbf{u}=0$ para algunos vectores $\mathbf{u}$, $\mathbf{u}^TA\mathbf{u}=0$ y a su vez $$ \int_a^b \mathbf{u}^T\mathbf{g}(x)\mathbf{g}(x)^T\mathbf{u}\,dx=\int_a^b \left(\mathbf{g}(x)^T\mathbf{u}\right)^2dx=0.\la etiqueta{1} $$ Tenga en cuenta que el integrando en $(1)$ es un cuadrado plazo, por lo tanto no negativo. El uso de la continuidad y la independencia lineal de $g_1,g_2,\ldots,g_m$, sostienen que el $\mathbf{u}$ debe ser cero.

Observación. $A$ es un Gramian de la matriz. En general, un Gramian matriz es siempre positivo semidefinite.