¿Por qué $\epsilon > \mu$ para la distribución de Bose-Einstein (pero no de Fermi-Dirac)?

Question

Para fermiones $$\bar{n}_{FD}=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu)/kT}+1}$$ y $\epsilon$ puede ser más grande o más pequeño que el de $\mu$. Sin embargo, para los bosones: $$\bar{n}_{BE}=\frac{1}{e^{(\epsilon -\mu)/kT}-1}$$ lo que implica que $\epsilon >\mu$ de lo contrario, la ocupación es negativo.

Hay otro argumento de por qué $\epsilon >\mu$ debe ser cierto para los bosones, pero no para fermiones? Estoy leyendo Schroeder y dice:

Sería negativo si $\epsilon$ podría ser de menos de $\mu$, pero ya hemos visto que esto no puede suceder.

pero no puedo encontrar donde "ya hemos visto que esto no puede suceder"

Answer 1

El potencial químico es una especie de la energía potencial necesaria para añadir otra partícula de la zona de embalse al sistema. Así, para agregar otra partícula para un determinado nivel de partículas requiere de energía si el potencial químico es mayor que la energía de nivel de una sola partícula.

Si el potencial químico es menor que el nivel de energía, entonces el inferior, el total de sistemas de energía mediante la adición de otra partícula desde el depósito hasta que el nivel de energía, por lo que sería de esperar que un sistema se derrumba. Esto también es consistente con el hecho de que la ocupación número tiende a infinito cuando el $\mu$ enfoques $\epsilon$.

Para fermiones, esto minimizará no puede suceder, ya que estamos limitados por el principio de pauli por lo que no puede tener un número arbitrario de partículas en el mismo estado.

Answer 2

Lo encontré:

$$\bar{n}_{BE}=-\frac{1}{\mathcal{Z}}\frac{\partial \mathcal{Z}}{\partial x}$$ where $x # =(\epsilon-\mu)/kT$

$$\mathcal{Z} = \sum\limits_{n}^\infty e^{-n(\epsilon -\mu)/kT}$ $ que converge si $\epsilon -\mu<0$