Suma y producto de los ultrafiltros

Question

¿puede alguien decirme, por favor, dos ultrafiltros tales que $\mathcal {U} \otimes\mathcal {V} \neq\mathcal {V} \otimes\mathcal {U}$ y otros dos tales que $\mathcal {U} \oplus\mathcal {V} \neq\mathcal {V} \oplus\mathcal {U}$ ?. Gracias

Answer 1

Para $\mathcal {U} \oplus\mathcal {V}$ :

Deje que $X=\{x_1,x_2, \dots\ }$ y $Y=\{y_1,y_2, \dots\ }$ ser dos subconjuntos infinitos de $\mathbb {N}$ con esta propiedad: $A=\{x_i+y_j;\,i<j\}$ y $B=\{x_i+y_j;\,i>j\}$ satisfacer $A \cap B= \emptyset$ . Por ejemplo, $x_i=2^{2i}$ y $y_i=2^{2i+1}$ satisfacen esto.

Deje que ahora $U=\{C \subset\mathbb {N};\,X \backslash C \text { is finite}\}$ . $U$ es un filtro, así que vamos a ampliarlo a un ultrafiltro $\mathcal {U}$ . De manera similar construimos $V$ y $\mathcal {V}$ (usando $Y$ en lugar de $X$ ).

Ahora tenemos $A \in\mathcal {U} \oplus\mathcal {V}$ (ya que por cada $x_i$ el conjunto $A-x_i$ contiene como un subconjunto $\{y_{i+1},y_{i+2}, \dots\ }$ así que $A-x_i \in V \subset\mathcal {V}$ ). Similares, $B \in\mathcal {V} \oplus\mathcal {U}$ . Desde $A \cap B= \emptyset$ Tenemos $\mathcal {U} \oplus\mathcal {V} \neq \mathcal {V} \oplus\mathcal {U}$ .

Answer 2

Para $\mathcal U \otimes \mathcal V$ que $\mathcal U=(0)$ (director), $\mathcal V$ -- cualquier otro. Entonces $A= \mathbf N \times \lbrace 0 \rbrace$ no está en $\mathcal U \otimes \mathcal V$ (ya que todas las secciones verticales de $A$ son $\lbrace 0 \rbrace\notin \mathcal V$ ), pero está en $\mathcal V \otimes \mathcal U$ (ya que todas las secciones verticales de $A$ contienen $0$ ).