Convergencia de valores propios para la secuencia de compresiones de un operador compacto

Question

Supongamos $H$ es un espacio de Hilbert separable, $A$ es una de Hilbert Schmidt operador en $H$, e $P_n$ es un aumento de la secuencia de finito de rango ortogonal proyecciones de $H$ (por lo $P_nx\rightarrow x$ todos los $x\in H$). Entonces tenemos que, para $A_n=P_nAP_n$, $A_n\rightarrow A$ en la de Hilbert-Schmidt norma; véase, por ejemplo, esta muy completo el post sobre la Aproximación de una de Hilbert-Schmidt operador. Mi pregunta de seguimiento: Si los valores propios de un operador siempre se ordenan de mayor a menor, incluidos los de multiplicidades, es (trivialmente?) cierto que el $k^\mathrm{th}$ valor singular de la secuencia de operadores de $\{A_n\}_{n\ge k}$ converge a la $k^\mathrm{th}$ valor singular de a $A$?

Gracias!

Answer 1

Sí. Por el max-min principio para valores singulares, $$\sigma_k(A)=\sup_{\dim S=k}\min \{\|Ax\|/\|x\|:x\in S\} \tag1$$ De ello se sigue que $$\begin{split}\sigma_k(A_n) &=\sup_{\dim S=k}\min \{\|P_nAP_nx\|/\|x\|:x\in S\} \\ &\le \sup_{\dim S=k}\min \{\|Ay\|/\|y\|:x\in P_n S\} \\ &\le \sigma_k(A) \end{split} \tag2$$ En la dirección inversa, elegir un subespacio $S$ tal que $\dim S=k$$\min \{\|Ax\|/\|x\|:x\in S\} > \sigma_k(A)-\epsilon$. Mostrar* que la restricción de $A-A_n$ a la unidad de la esfera de $S$ tiende a cero uniformemente. A la conclusión de que $\limsup_{n\to\infty} \sigma_k(A_n) \ge \sigma_k(A)$, terminando la prueba.

(*) Una manera de hacer esto es elegir un número finito de $\epsilon$-net $E$ en la unidad de la esfera de $S$ y encontrar $N$ tal que $\|Ax-A_n x\|<\epsilon$ todos los $x\in E$$n\ge N$. A continuación, utilice el uniforme acotamiento acotamiento de $\|A_n\|$.