¿Cuáles son algunas de las grandes diferencias entre la teoría analítica del número y teoría del número algébrico?
Bueno, tal vez vi también mucho de las similitudes entre estos dos sujetos, mientras que no veo demasiado análisis en teoría analítica del número.
He aquí una idea de la clase de conceptos que se introducen en los tres primeros capítulos de Tom Apostol de la Introducción a la Teoría Analítica de números (Licenciatura Textos en Matemáticas, Springer):
La divisibilidad, máximo común divisores, números primos, el Teorema Fundamental de la Aritmética, el algoritmo de Euclides. La serie de los recíprocos de los números primos.
Aritmética Funciones de Dirichlet producto, Möbius de la inversión de la fórmula, de poder Formal de la serie, la Campana de la serie de una función aritmética, los Derivados de la aritmética funciones, Selberg identidad.
Grande oh notación asintótica igualdad de funciones, los promedios de funciones aritméticas.
El capítulo 4 aborda la distribución de los números primos. Congruencias no se introdujo hasta el Capítulo 5; algunos resultados sobre finito abelian grupos y los personajes que ocupan el Capítulo 6. Su propósito principal es abordar de Dirichlet del Teorema de los números primos en progresiones aritméticas en el Capítulo 7. El libro continúa después de eso.
Por el contrario, William LeVeque los Fundamentos de la Teoría de los números (Dover), que se inclina más hacia el algebraicas lado, tenemos que la Sección 1.1 se titula ¿Qué es la teoría de los números?, seguido inmediatamente por la sección 1.2, las propiedades Algebraicas del conjunto de números enteros. El primer gran capítulo es el Capítulo 2, que trata con la única factorización y el MCD, como Apostol (pero no se trata en absoluto de una serie, mientras que el Apostol ya tiene una serie en la que el primer capítulo). El capítulo 3 trata de congruencias, en el Capítulo 4 con raíces primitivas y el grupo de unidades del modulo $m$, el Capítulo 5 con residuos cuadráticos y la reciprocidad cuadrática, y no es hasta el Capítulo 6 aritmética de las funciones introducidas.
Serge Lang, la Teoría Algebraica de números (Graduado Textos en Matemáticas, Springer) no incluso hablar acerca de las funciones aritméticas. Vamos directamente a la única factorización de los ideales en los dominios de Dedekind. Aunque tiene una parte el derecho de la Analítica de la Teoría (la Parte 3, que comprende los capítulos XIII a XVII), están preocupados con la función zeta, Tate Tesis, la densidad de los números primos y la Brauer-Teorema de Siegel.
Preguntas como "¿Cuál es la probabilidad de que dos 'al azar' enteros son relativamente primos?" (Respuesta: $\frac{6}{\pi^2}$) "¿Cuál es el promedio de la orden de la función de divisor?" (La respuesta, $$ \sum_{n\leq x} = x\log x + (2C-1)x + O(\sqrt{x})$$ donde $C$ es la constante de Euler); estos son de la provincia de la Teoría Analítica de números. La mayoría de estas preguntas no pueden ser razonablemente respondió (en todo caso) con las herramientas estándar de la teoría algebraica de números (teoría de Galois, extensiones de $\mathbb{Q}$, anillos de enteros, etc.) Como Lang libro no mencionar siquiera las funciones aritméticas, Apostol de no mencionar siquiera Galois.
Aunque ambas buscan responder a las preguntas acerca de las propiedades de los enteros positivos, el tipo de preguntas que la Teoría Analítica de números y la Teoría Algebraica de números pregunte tienen un sabor distinto, con la primera se refiere a "limitar" las preguntas, mientras que el segundo no lo es, y el segundo se refiere a la "estructural" preguntas mientras que el primero no tanto. Y los tipos de herramientas que cada uno alcanza, asimismo, es diferente. Así, mientras que la Teoría Algebraica de números puede decir que existen infinitos números primos de cada uno de los formularios $4n+1$$4n+3$, y la Teoría Algebraica de números puede decir que cada uno de ellos se producen con la densidad de $\frac{1}{2}$ entre todos los números primos (a través de Cebotarev Densidad del Teorema), la Teoría Algebraica de números tendría un tiempo difícil demostrar que "totales" cambio conduce infinitamente a menudo (es decir, que hay infinitamente muchos enteros $N$s tales que el número de positivos primos menos de $N$ que son congruentes a $1$ mod $4$ es mayor que el número de números primos menos de $N$ que son congruentes a $3$ mod $4$, y que existen infinitos $M$s tales que el número de positivos primos menos de $M$ congruente a $3$ mod $4$ es mayor que el número de positivos primos menos de $N$ congruente a $1$ mod $4$). De hecho, yo no soy consciente de que cualquier "algebraica" prueba de este hecho.
La respuesta obvia es que la Teoría Algebraica de números utiliza técnicas de álgebra para responder a la teoría de los números de las preguntas, mientras la Teoría Analítica de números utiliza técnicas de análisis.
Pero eso es un poco pedante.
Hay un cierto grado de la teoría analítica de números es "acerca de" el fin de las propiedades de los números naturales. Por ejemplo, mucha de la teoría analítica de números está tratando de responder "¿cuántos ejemplos de (algunos de la propiedad) que existe entre $1$$N$?" El clásico ejemplo de esto es "¿cuántos de los números primos son entre $1$$N$?" Las respuestas a estas a menudo son estimaciones, y, en el cómputo de los límites de los errores, siempre estamos utilizando el análisis.
La teoría algebraica de números es relativamente indiferente a este tipo de pregunta, y es, a menudo, mal equipados para responder a ella. La teoría algebraica de números a menudo pueden ser utilizados para responder a "¿hay infinitamente muchos?", pero a menudo se tiene un tiempo difícil tratar con sus límites. Tiende a ser más grande sobre las propiedades estructurales de los números enteros (y relacionadas con el número de anillos.)
Como con cualquier tipo de generalizaciones, siempre hay excepciones.
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