Inequation de integral

Question

En mi libro de estadística se prueba la desigualdad de Chebyshev. En varios pasos se utiliza esta desigualdad:

$$ \int_a^{+\infty} \phi(x) f_X(x)dx \quad \geq \quad \phi(a) \int_a^{+\infty} f_X(x)dx $$

y también:

$$ \int_{-\infty}^{-a} \phi(x) f_X(x)dx \quad \geq \quad \phi(-a) \int_{-\infty}^{-a} f_X(x)dx $$

Aquí es $a \geq 0$, $\phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ una función positiva y $f_X$ a pdf.

¿Por qué esto es válido?

Answer 1

La razón intuitiva por qué $$ \int_{a}^{+\infty} \phi(x) f_X(x)dx \quad \geq \quad \phi(a) \int_{a}^{+\infty} f_X(x)dx $% $ de \phi(x)$ is that we are integrating $a$ from $+\infty$ to $\phi(x)$, hence if we evaluate $\phi(a)$ at the lower limit of that integral ($\phi(x) de $ is $evaluadas en el límite inferior de la integral), este resultado siempre será más pequeño que el integral de sí mismo. Puede ver mejor haciendo una imagen de una función valorada positiva y ver en la imagen, lo que representa la integral y lo que representa el valor de la función evaluada en el límite inferior de la integral. Aunque esto no es una prueba formal, puede ayudar a su comprensión.

Answer 2

$\phi$ Creciente (esto es importante aquí) y $f_X$ es positivo, tenemos $a>0$ y $x\ge a$, $\phi(x)\ge\phi(a)$. Por lo tanto, $$\begin{align} \int_a^\infty\phi(x)f_X(x)\,\mathrm{d}x &\ge\int_a^\infty\phi(a)f_X(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\phi(a)\int_a^\infty f_X(x)\,\mathrm{d}x\\ \end {alinee el} $$ la desigualdad de otros es simplemente un cambio de variables.