¿Ayuda para encontrar vectores propios?

Question

La matriz dada es:

$$ \begin{pmatrix}3 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -3\end{pmatrix}\qquad $$

Tengo el polinomio característico de a $$x^3 - x^2 - 5x - 3 = 0$$

que los factores de abajo a $$(x+1)^2 * (x-3) = 0$$

Veo que tiene los autovalores de -1 y 3.

Sé que estoy casi allí, he conectado los autovalores a $A-\lambda I$ pero olvidé por completo de cómo encontrar los vectores propios después de esto.

Al $\lambda$ = 3, yo tengo:

$$\begin{pmatrix}0 & 1 & 6 \\ 2 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x _1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=0\qquad$$

y al $\lambda$ = -1, tengo:

$$\begin{pmatrix}4 & 1 & 6 \\ 2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x _1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=0\qquad$$

¿Dónde puedo ir desde aquí? Fila-reducir el $3x3$ matrices para resolver?

Answer 1

Voy a usar el enfoque que usted está utilizando para que pueda ver sus problemas.

Se nos da: $A = \begin{bmatrix}3 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -3\end{bmatrix}$

Instalamos y resolver: $|A - \lambda I| = 0$, lo que se obtiene:

$$\left|\begin{matrix}3-\lambda & 1 & 6 \\ 2 & 1-\lambda & 0 \\ -1 & 0 & -3-\lambda\end{matrix}\right| = 0$$

Esto produce un polinomio característico y los valores propios como:

$$-\lambda^3+\lambda^2+5 \lambda+3 = -(\lambda-3) (\lambda+1)^2 = 0 ~~~\rightarrow ~~~ \lambda_1 = 3, \lambda_{2,3} = -1$$

Hemos multiplicidades de $1$ $2$ de los autovalores.

Para encontrar los vectores propios, por lo general resuelve $[ A - \lambda_i I]v_i = 0$, pero ya tenemos la repetición de una autovalor, puede que sea necesario cambiar la estrategia y encontrar una generalizada autovalor (voy a dejar de tratar con los detalles de este y geométricas de multiplicidades).

Así, por $\lambda_1 = 3$, tenemos:

$[A- 3I]v_1 = \begin{bmatrix}0 & 1 & 6 \\ 2 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & -6\end{bmatrix}v_1 = 0$

Haciendo fila-reducido-echelon-forma (RREF), se obtiene:

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}v_1 = 0$

Por lo tanto, $b = -6c, a = -6c \rightarrow ~~\text{let}~~ c = 1 \rightarrow a = b = -6, v_1 = (-6,-6,1)$.

La repetición de este mismo proceso para el segundo autovalor, tenemos como RREF:

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}v_1 = 0$

Esto produce un autovector de a $v_2 = (-2, 2, 1)$.

Desafortunadamente, no podemos tener otro linealmente independiente vector propio, por lo que necesita para obtener una generalizada de uno, haciendo $[A - \lambda I]v_3 = v_2$, por lo tanto tenemos:

$\begin{bmatrix}4 & 1 & 6 \\ 2 & 2 & 0 \\-1 & 0 & 2\end{bmatrix}v_3 = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

Después de RREF, llegamos a:

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$

Así, tenemos: $a = -1 -2c, b = 2 + 2c \rightarrow ~~ \text{let} ~~ c = 0 \rightarrow a = -1, b = 2$, lo $v_3 = (-1,2,0)$

Elaboración de todo esto, tenemos el autovalor/vector propio de a pares:

• $\lambda_1 = 3, v_1 = (-6, -6, 1)$
• $\lambda_2 = -1, v_2 = (-2, 2, 1)$
• $\lambda_3 = -1, v_3 = (-1,2,0)$

Answer 2

es suficiente encontrará: $$ \left(\begin{bmatrix}3 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -3\end{bmatrix}-3I\right)\begin{bmatrix}x _1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix} = 0\qquad \text{and} \qquad \left(\begin{bmatrix}3 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -3\end{bmatrix}+ I\right)\begin{bmatrix}x _1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix} = 0 \. $$

Answer 3

Recuerde que un vector propio $v_\lambda$ de la matriz $M$ asociado al valor propio $\lambda$ es un vector tal $Mv_\lambda=\lambda v_\lambda$ o equivalente $(M-\lambda I)v_\lambda=0$. Por lo tanto, está tratando de encontrar un vector (o vectores según multiplicidad) $v_\lambda$ que abarca el nullspace de la matriz $M-\lambda I$. ¿Sabes encontrar el nullspace de una matriz?