Para un conjunto arbitrario e incontable de números irracionales, ¿puedo construir siempre una secuencia a partir de ellos que converja en los racionales?

Question

Suponga que tiene un conjunto $S$ de incontables números irracionales. ¿Puedes construir una secuencia de $S$ que converge a un número racional?

Lo que he probado: Desde $S$ es incontable, el inf de distancias en este conjunto será arbitrariamente cercano (en caso contrario, si $d>0$ es un límite inferior de la distancia entre los números de mi conjunto, entonces puedo inyectar mi conjunto en los enteros dividiendo la línea real en intervalos de longitud $d$ , lo que haría que $S$ contable, contradicción).

También puedo suponer $S$ está acotado, ya que las uniones contables de conjuntos contables son contables, por lo que puedo dividir $S$ en intervalos $S_i = S \cap [n, n+1)$ . Al menos uno de ellos tiene que ser incontable para $S$ para ser contable.

Answer 1

No, es posible construir un conjunto cerrado incontable que contenga sólo irracionales. Sea $\{p_n\}$ sea una enumeración de $\mathbb{Q}$ . Poner $I_n = (p_n - 2^{-n-1},p_n+2^{-n-1})$ . Entonces cada $I_n$ tiene medida $2^{-n}$ (si no has aprendido antes la medida de Lebesgue, es simplemente la longitud de $I_n$ ). Su unión $U$ es un conjunto abierto que contiene todos los racionales, pero tiene medida finita. Por lo tanto, el complemento de $U$ es un conjunto cerrado incontable que sólo contiene irracionales.