transformación de Laplace

Question

Supongamos que $F(s)=L[f(t)]$ y $G(s)=L[g(t)]$, $L$ ¿Dónde está el Laplace transformación $$F(s)=L[f(t)]=\int_0^{+\infty}e^{-st}f(t)dt.$$ I'm trying to prove that: $%$ $\textrm{If}\ \ \lim_{t\to 0^+} \frac{f(t)}{g(t)}=1,\ \ \ \textrm{then}\ \ \ \lim_{s\to+\infty}\frac{F(s)}{G(s)}=1.$alguien puede darme una pista? Gracias.

Answer 1

Sugerencia :

$$\lim_{t\to 0} f(t) = \lim_{s\to \infty}sF(s)$$

Este es el Teorema del valor inicial.

---

Editar:

Ampliar en esta, debido a que el límite que estamos buscando para el existen de la hipótesis, puede proceder así:

$$\lim_{t\to 0} \frac{f(t)}{g(t)} = \frac{\lim_{t\to 0} f(t)}{\lim_{t\to 0}g(t)}= \frac{\lim_{s\to \infty}sF(s)}{\lim_{s\to \infty}sG(s)} = \lim_{s\to \infty}\frac{F(s)}{G(s)}$$

Pero:

$$\lim_{t\to 0} \frac{f(t)}{g(t)} = 1$$

Esto es básicamente.