Ejemplo de espacios no homeomórficos $X$ y $Y$ tal que $X^2$ y $Y^2$ son homeomorfa

Question

¿Puede cualquiera sugerir un ejemplo de espacios no homeomórficos $X$ y $Y$ tal que $X \times X$ y $Y \times Y$ son homeomórficos?

Answer 1

Empezar con una colección de sólidos torii $\{T_i\}$ con cada una de las $T_{n+1}$ incrustado en $T_n$ como sigue

A continuación, el complemento de la misma intersección, es decir, $\Bbb S^3 \setminus \bigcap T_i$ se llama la Whitehead colector, la cual vamos a denotar por $W$. $W$ no es homeomórficos a $\Bbb R^3$ ya que no sólo es conectado al infinito (lo cual es sorprendente, como $W$ es contráctiles desde cada una de las $\Bbb S^3\setminus T_n$ es nullhomotopic en $\Bbb S^3 \setminus T_{n+1}$)

En Glimm, Dos productos cartesianos que se euclidiana espacios, Bull. Soc. De matemáticas. Francia $88 (1961), 131-135$, disponible aquí, está demostrado que el $W \times W \cong \Bbb R^6 \cong \Bbb R^3 \times \Bbb R^3$.

Por lo tanto, $X = W$ $Y = \Bbb R^3$ proporciona un ejemplo de un espacio de este tipo.