Pregunta de mapeo de contracción

Question

Sea X el conjunto de real continua de las funciones con valores definidos en $[0,\frac{1}{2}]$ con la métrica $d(f,g):=\sup_{x\in[0,\frac{1}{2}]} |f(x)-g(x)|$.

Definir el mapa de $\theta:X\rightarrow X$ tal que $$\theta (f)(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+f(t)^2} dt$$.

Necesito mostrar que $\theta$ es una contracción de asignación y que el único punto fijo satisface $f(0)=0$ y el diferencial de la ecuación de $\frac{df}{dx}=\frac{1}{1+f(x)^2}$

Así que estoy bastante perdido en esto, estoy bastante cómodo, demostrando que cosas como $f(x)=1+\frac{1}{1+x^4}$ son de asignación de contracción, pero estoy un poco confundido con esto, así que

$$d(\theta(f),\theta(g))=\sup|\int_{0}^{x} \frac{1}{1+f(t)^2}-\frac{1}{1+g(t)^2} dt|$$

y así, este es: $$=\sup|\int_{0}^{x} \frac{(g(t)-f(t))(g(t)+f(t))}{(1+f(t)^2)(1+g(t)^2)} dt|$$

pero no estoy seguro de dónde ir de aquí, yo sé que necesito esto para llegar a ser algo como:

$$\leq\alpha\sup|f(x)-g(x)|$$ where $\alfa$ es la contracción constante?

Muchas gracias por cualquier ayuda

Answer 1

puede mostrar que la función $g(a,b)={{a+b}\over{(1+a^2)(1+b^2)}}$ tiene un máximo en $a=b=1/3$ con valor máximo de $27/50$. La última integral es menor que $ \sup \int_0^x 27/50 (g(t)-f(t)) dt$. Hacia el resultado.

Answer 2

De hecho, el teorema de Picard Lindelof le dice que lo que realmente necesita es $H(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ ser Lipshitz continuo en un barrio de $0$.