Es suficiente para mostrar que en realidad $E_\alpha\cap\kappa$ es estacionaria por inducción en $\alpha<\kappa$.
El caso de $\alpha=0$ se deduce del hecho de que $\kappa$ es débilmente inaccesible, y por lo tanto el conjunto de límite de cardenales de menos de $\kappa$ es cerrado sin límites.
Hay dos casos:
Supongamos $E_\alpha\cap\kappa$ es estacionaria. A continuación, $(E_\alpha\cap\kappa)'$ es el club y por lo tanto $(E_\alpha\cap\kappa)'\cap E_\alpha$ es inmóvil, y como este es un subconjunto de a $E_{\alpha+1}$, obtenemos que $E_{\alpha+1}$ es estacionaria.
Ahora supongamos $\alpha<\kappa$ es el límite, y todos los $E_\beta$ son fijos para $\beta<\alpha$. Supongamos $E_\alpha$ es no estacionaria. Entonces no es un club de $C$ tal que para cada una de las $\beta\in C$ hay algo de $\xi<\alpha$$\beta\notin E_\xi$. Vamos, para cada $\beta\in C$, $f(\beta)$ ser el menos $\xi$ tal que $\beta\notin E_\xi$; observe que cada una de las $f(\beta)$ es un ordinal sucesor y $f(\beta)<\alpha.$ existe un conjunto estacionario $S\subseteq C\cap E_0$ tal que $f$
es constante en $S$, con un valor de $\xi+1$. Elija alguna de $\alpha\en
(E_\xi\cap\kappa)'\cap S$; $(E_\xi\cap\kappa)'$ is club since $E_\xi\cap\kappa$ is stationary , then $\alpha\en E_\xi$ as $\alpha\in S$
debido a $f(\alpha)=\xi+1$. Entonces como $\alpha$ es regular
el cardenal; $S\subseteq E_0$, obtenemos que, desde $\alpha\en
(E_\xi\cap\kappa)',$ $|\alpha\cap E_\xi|=\alpha$, por lo tanto
$\alpha\in E_{\xi+1}$. Contradicción.
Por tanto, como $E_\alpha\cap\kappa$ es fijo para cada una de las $\alpha<\kappa$, obtenemos $\kappa\in E_\kappa$.
Ahora vamos a ver que, de hecho, $\{\alpha<\kappa:\alpha\in E_\alpha\}$ es estacionaria. Supongamos que no, entonces no es un club de $C$ tal que para cada una de las $\alpha\in C$ hay algo de $\xi<\alpha$$\alpha\notin E_\xi$. Definir $f:C\rightarrow \kappa$, como en (2), a continuación, argumentando de modo similar, existe un conjunto estacionario $S\subseteq C\cap E_0$ tal que $f$ tiene el valor de la constante $\xi+1$, y tenemos una similar contradicción.
El argumento me había dado inicialmente, esto es, utilizar la que hay un conjunto estacionario $S\subseteq\kappa$ débilmente inaccesibles tal que $V_\alpha\preceq V_\kappa$ todos los $\alpha\in S$, es más corto pero sólo funciona si $\kappa$ también es inaccesible, aunque.
