¿Cómo definir la topología en términos de subobjetos?

Question

Cómo definir la topología de las categorías generales. El siguiente es mi intento de hacerlo, pero supongo que no es correcto. Cuál debería ser el análogo categórico del tercer axioma de la topología (que la unión de conjuntos abiertos es abierta.)

Una topología para un objeto $X \in C$ es una subcategoría $\Omega$ de la categoría de subobjetos de $X$ que:

• contiene el objeto terminal de $Sub\left(X\right)$ , a saber $id: X\rightarrow X $ y el suobjeto vacío (el no morfismo del objeto inicial de $C$ a X). Esta condición se generaliza a partir de decir que $X$ y el conjunto vacío son abiertos.

• $\Omega$ es cerrado bajo pullbacks finitos.(El pullback de cualquier número finito de mónicas con codominio $X$ se incluye en $\Omega$ ). Esto debe parecerse al cierre bajo la intersección.

• ??

Por último, quería saber si este intento se acerca a la idea del tamiz (o de la topología de Grothendiek).

Answer 1

En cuanto a las topologías de Grothendieck: una topología de Grothendieck es una categoría con una estructura adicional basada en la idea de que los subconjuntos abiertos de un espacio topológico forman una categoría (y los morfismos son simplemente inclusiones, cuando existen). La estructura adicional especifica qué morfismos deben considerarse coberturas (y por tanto está relacionada con los datos contenidos en el axioma de "unión" de la topología).

La razón para pensar en las topologías de esta manera, y para generalizarlas, es que las gavillas y pregavillas de un espacio topológico pueden considerarse funtores (contravariantes) de la categoría de subconjuntos abiertos. (Un presheaf es precisamente un funtor de este tipo, y un sheaf es un presheaf que satisface algunos axiomas adicionales relacionados con las coberturas; estas nociones se generalizan a una topología de Grothendieck de forma esencialmente directa).

Lo que estás haciendo es más bien tratar de definir objetos topológicos en una categoría (análoga a los espacios topológicos en la categoría de conjuntos), que es algo muy diferente.