La pregunta: $\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2 -1}=x$
Lo único que puedo tomar de esto es que el $x^2 -1=(x+1)(x-1)$, pero no creo que ayudaría de alguna manera.
Sé la respuesta, pero no sé usar para trabajar hacia atrás.
Respuesta:
$x= \frac54$
Respuestas
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Hacer cumplir la sustitución $u=\sqrt{x+1}$ y $v=\sqrt{x-1}$. Entonces, vemos que
$$(u+v)(u+v-2)=0 \tag 1$$
Desde $u\ge 0$ y $v\ge 0$, la única solución para $(1)$ es solución $u=2-v$ o
$$\sqrt{1+x}=2-\sqrt{x-1} \tag 2$$
Cuadratura de ambos lados de los rendimientos de $(2)$
$$1+x=4+(x-1)-4\sqrt{x-1}\implies x=\frac54$$
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Ya se ha visto una solución que es mucho más inteligente. Pero tratemos de si esto se puede hacer con la repetición de la cuadratura - que suele ser una de las primeras cosas que viene a la mente en este tipo de problemas.
No hay que olvidar que cuando la plaza de una ecuación, se pueden obtener soluciones extrañas. (Ver aquí, aquí o aquí.)
Primero nos mueva $\sqrt{x^2+1}$ a los RHS. Tenemos la esperanza de llegar más agradable expresiones si no estamos de plaza de algo que contiene tres de las raíces cuadradas. \begin{align*} \sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}&=x+\sqrt{x^2-1}\\ (\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2&=(x+\sqrt{x^2-1})^2\\ (x+1)+2\sqrt{(x+1)(x-1)}+(x-1)&=x^2+2x\sqrt{x^2-1}+(x^2-1)\\ 2x+2\sqrt{x^2-1}&=2x^2-1+2x\sqrt{x^2-1}\\ 2(1-x)\sqrt{x^2-1}&=2x^2-2x-1 \end{align*} Permítanme mencionar también que si nos fijamos en el lado izquierdo, podemos ver que $(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2$ es, precisamente, el doble de la expresión $x+\sqrt{x^2-1}$. Así que tenemos algún tipo de relación entre el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación que hemos empezado. Tal vez esta es una de las formas posibles para descubrir la inteligente sustitución del Dr. MV de la respuesta. Pero si no nos damos cuenta de esto, se puede tratar simplemente de continuar con el cuadrado.
Ahora sólo tenemos una raíz cuadrada en nuestra ecuación. Hemos de cambiar su ubicación de tal manera que todos los términos que contienen la raíz cuadrada están en un lado de la ecuación y los términos restantes están en los otros citados.
\begin{align*}
2(1-x)\sqrt{x^2-1}&=2x^2-2x-1\\
4(1-x)^2(x^2-1)&=(2x^2-2x-1)^2\\
4(x-1)^2(x-1)(x+1)&=(2x(x-1)-1)^2
\end{align*}
Parece que en este momento la sustitución de $x-1=t$ podría simplificar un poco las cosas. (Por supuesto, también podríamos continuar sin que esta sustitución. Usted puede tratar de esa manera, si lo prefiere.)
\begin{align*}
4t^3(t+2)&=(2t(t+1)-1)^2\\
4t^3(t+2)&=(2t^2+2t-1)^2\\
4t^4+8t^3&=4t^4+8t^3-4t+1\\
0&-4t+1\\
t&=\frac14\\
x&=t+1=\frac54
\end{align*}
Así, obtenemos $$x=\frac54.$$
Ya que hemos utilizado el cuadrado en el proceso, también tenemos que comprobar si $5/4$ cumple la ecuación original. Y nos encontramos con que lo hace.
El LHS es $\sqrt{\frac94}+\sqrt{\frac14}-\sqrt{\frac{25}{16}-1}=\sqrt{\frac94}+\sqrt{\frac14}-\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac32+\frac12-\frac34=2-\frac34=\frac54$. Y llegamos $\frac54$ sobre el lado derecho, también.
