Contraejemplo: $[0,1]\times[0,1]$ con la topología de subespacio inducida de $\mathbb{R}^2$ es compacto. El % de cubierta abierta $\mathscr{U}$es a los dos sectores circulares. Cuando nos fijamos en la esquina de arriba izquierda y abajo-derecha, falla - no hay ningún tal $\delta$, que sea la bola abierta sólo en uno de los sectores circulares... lo que está mal?
La parte superior-izquierda e inferior-derecha de las esquinas no figuran en círculo abierto. Es decir, su reivindicada contraejemplo no llega a cubrir la plaza.
Por otra parte, creo que puede haber entendido mal lo que es importante acerca de Lebesgue del número de lema. La siguiente declaración
Deje $\mathcal U$ ser una tapadera. Para cualquier $x$, hay algunos $\delta$ y algunos $U\in \mathcal U$ tal que $B(x,\delta)\subseteq U$
es claramente cierto de cualquier cubierta - no hay necesidad de compacidad. Esto es, básicamente, sólo escribir lo "abierto" y de la "tapa" se definen. Dado que su contraejemplo falla esta condición, es claro que no es una cubierta abierta.
Tenga en cuenta que Lebesgue del número lema intercambios de los cuantificadores y dice que hay una $\delta$ que funciona para todos los $x$. Esto es lo que requiere la compacidad.
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