Una propiedad de la exponencial de los operadores

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach. $A\in B(X)$ es un operador acotado. podemos definir a la $e^{tA}$ por

$$e^{tA}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{t^kA^k}{k!}$$ Estoy interesado en esta propiedad:

Si $x\in X$, de tal manera que la función de $t\mapsto e^{tA}x$ está delimitada en $\mathbb{R}$, luego tenemos necesariamente $$\inf_{t\in \mathbb{R}}|e^{tA}x|>0 \ \ \ \ \ or \ \ \ \ e^{tA}x=0 \ \ (i.e. \ \ x=0).$$

Esta propiedad es evidente en los escalares caso de $A=a\in \mathbb{C}$. Debido a $t\mapsto e^{ta}x$ está delimitada en $\mathbb{R}$ si y sólo si $Re(a)=0$, y, a continuación,$\inf_{t\in \mathbb{R}}|e^{ta}x|=|x|$.

Esta propiedad también es cierto si $X$ es finito dimensionales yo.e si $A$ es una matriz, y fue contestada aquí en matemáticas de intercambio de la pila.

Así que mi pregunta es: "¿esta propiedad si $X$ es infinito dimensional ? "

Answer 1

La respuesta es "No". Tome $C_0^\infty(\mathbb R)$ con la norma $\|f\|=\int_{\mathbb R}\frac{1}{1+y^2}|\widehat f(y)|\,dy$. Deje $\psi$ cualquier $C_0^\infty(\mathbb R)$-función tal que $\psi(x)=x$$[-1,1$. Deje $Af=i\psi f$. A continuación, podemos comprobar el acotamiento de $A$ en el de Fourier lado por sólo la comprobación de que la convolución con $\widehat\psi$ está delimitado en la ponderado $L^1$ con el peso de la $\frac 1{1+y^2}$, es decir, mediante la comprobación de que $$ \int_{\mathbb R}\frac 1{1+(y+z)^2}|\widehat\psi(z)|\le \frac C{1+y^2}\,, $$ lo cual no es difícil porque la $\widehat\psi$ decae más rápido que cualquier potencia ($\widehat\psi(z)=O(z^{-2})$$z\to\infty$ ya es suficiente para establecer esta afirmación). Para que se convierta en un operador que actúa sobre un espacio de Banach, acaba de tomar la finalización y se extienden por la continuidad.

Ahora tomar cualquier liso $g$ apoyado en $[-1,1]$. A continuación,$(e^{tA}g)(x)=g(x)e^{itx}$, por lo que tenemos un puro cambio en la transformada de Fourier lado. Sin embargo, la integral de $| \widehat g |$ es finito y que el cambio lleva lleva a cualquier conjunto compacto de distancia hasta el infinito, donde el peso de la $\frac 1{1+y^2}$ casi $0$. Por lo tanto $\|e^{tA}g\|\to 0$$t\to\pm\infty$.