Norma de un producto tensorial de operadores

Question

Tengo dos espacios de Hilbert $H_1$ y $H_2$ que son subespacios de un espacio de Hilbert mayor $H$ . También tengo dos funciones lineales acotadas $T_1:H_1\rightarrow H$ y $T_2:H_2\rightarrow H$ .

Defino el espacio del producto tensorial $F=H_1\otimes H_2$ y una función lineal sobre ella $T=(T_1\otimes T_2)$ . El espacio vectorial $F$ tiene el producto interno inducido de los espacios de Hilbert: $$\langle\phi_1\otimes \psi_1, \phi_2 \otimes \psi_2\rangle = \langle\phi_1,\phi_2\rangle\langle\psi_1,\psi_2\rangle$$ y, por tanto, una norma inducida.

Quiero demostrar que $\|T\| =\|T_1\| \cdot\|T_2\|$ pero estoy atascado ya que no puedo mostrar eso $\|T\| \leq \|T_1\| \cdot\|T_2\|$ (la otra desigualdad ya la he mostrado). ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

$\newcommand{\norm}[1]{\left\|{#1}\right\|} \newcommand{\ip}[1]{\left\langle{#1}\right\rangle} \newcommand{\abs}[1]{\left|{#1}\right|}$ Dejemos que $S \in B(H_1)$ , $T \in B(H_2)$ La afirmación es que $\norm{S \otimes T} \leq \norm{S}\norm{T}$ .

Permítanme primero mostrar que $S \otimes I$ está acotado con $\norm{S \otimes I} \leq \norm{S}$ la misma prueba, mutatis mutandis , demostrará que $I \otimes T$ está acotado con $\norm{I \otimes T} \leq \norm{T}$ . Dado que el producto tensorial algebraico $H_1 \odot H_2$ es denso en $H_1 \otimes H_2$ basta con demostrar que $\norm{(S \otimes I)v} \leq \norm{S}\norm{v}$ para cualquier $v \in H_1 \odot H_2$ .

Por lo tanto, dejemos que $v = \sum_{k=1}^N x_k \otimes y_k \in H_1 \odot H_2$ realizando la ortogonalización de Gram--Schmidt en $\{y_k\}$ y expresando la $y_k$ en términos de la base ortonormal resultante para $\operatorname{span}\{y_k\}$ podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\{y_k\}$ es ortonormal. Por un lado, se deduce que $\{x_k \otimes y_k\}$ es ortogonal, por lo que $$ \norm{v}^2 = \norm{\sum_{k=1}^N x_k \otimes y_k}^2 = \sum_{k=1}^N \norm{x_k \otimes y_k}^2 = \sum_{k=1}^N \norm{x_k}^2. $$ Por otra parte, dado que $(S \otimes I)(x_k \otimes y_k) = Sx_k \otimes y_k$ se deduce que $\{Sx_k \otimes y_k\}$ también es ortogonal, por lo que por el mismo cálculo mutatis mutandis , $$ \norm{(S \otimes I)v}^2 = \sum_{k=1}^N \norm{S x_k}^2 \leq \sum_{k=1}^N \norm{S}^2 \norm{x_k}^2 = \norm{S}^2 \sum_{k=1}^N \norm{x_k}^2 = \norm{S}^2\norm{v}^2. $$ Así, $\norm{(S \otimes I)v} \leq \norm{S}\norm{v}$ según sea necesario.

Ahora, observe que como $(S \otimes T) = (S \otimes I)(I \otimes T)$ en $H_1 \odot H_2$ se deduce, por la acotación de $S \otimes I$ y $I \otimes T$ que $S \otimes T$ también está acotado con norma $$ \norm{S \otimes T} \leq \norm{S \otimes I}\norm{I \otimes T} \leq \norm{S}\norm{T}, $$ según sea necesario.

Answer 2

Permítanme añadir la otra dirección. Supongamos que $\varepsilon >0$ . Entonces, a partir de la acotación de los operadores $T_{1}$ y $T_{2}$ sabemos que existen vectores unitarios en los espacios de Hilbert $\psi \in H_{1}$ , $\xi \in H_{2}$ tal que:

$\left \| T_{1} \psi \right \|> \left \| T_{1} \right \| - \epsilon$ , $\left \| T_{2} \xi \right \|> \left \| T_{2} \right \| - \epsilon$

Con esto podemos utilizar la definición del producto tensorial para ver que:

$\left \| \left (T_{1}\otimes T_{2} \right )\left ( \psi\otimes \xi \right ) \right \|_{H_{1}\bigotimes H_{2}}=\left \| \left ( T_{1}\psi\otimes T_{2}\xi \right ) \right \|_{H_{1}\bigotimes H_{2}}=\left \|T_{1}\psi \right \|_{H_{1}} \left \| T_{2}\xi \right \|_{H_{2}}\geq$ $ \geq\left \| T_{1} \right \|\left \| T_{2} \right \|-\epsilon \left \| T_{1} \right \| - \epsilon \left \| T_{2} \right \| + \epsilon^{2}\geq\left \| T_{1} \right \|\left \| T_{2} \right \|-\epsilon \left \| T_{1} \right \| - \epsilon \left \| T_{2} \right \|$

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