¿Por qué se llama "Proyección ortogonal"? ¿Por qué no simplemente "proyección"?

Question

Ahora, estamos aprendiendo de la descomposición de los vectores, pero algo que no entiendo es los nombres dados a estas cosas

Por ejemplo, en el texto, el paralelo componente de y se dice que es la proyección ortogonal de y sobre u. Esto no tiene ningún sentido para mí. ¿Por qué la palabra "ortogonal" incluso allí en primer lugar? Creo que entiendo por qué usan "ortogonal" para z, pero no tiene sentido para mí en la que sólo podríamos llamar "ortogonal"

Answer 1

Como Bill respuesta explica, podemos descomponer cada vector en el espacio original mediante el mapa de proyección. Esto conduce a una intuitiva interpretación geométrica de las proyecciones ortogonales.

Si $p:V\to W$ $\color{Green}{orthogonal}$ proyección hacia un subespacio, las fibras (pre-imágenes) de cada punto de $w\in W$ es perpendicular a la base (el subespacio $W$). Con $\dim V=2$$\dim W=1$:

$\hskip 0.4in$

La base (línea negra) y fibras (líneas grises) puede en general ser visto como superior-planos dimensionales.

Answer 2

Considerar $$\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&0\end{pmatrix}$$ it projects all vectors to the $x $-axis. But it doesn't project vectors onto the $x $-axis orthogonally. The vector $ (0,1) ^ T $ is not sent to its orthogonal projection $ (0,0) ^ T $ but is sent to $ (1,0) ^ T $. Vectors are "diagonally" projected onto the $x$-eje.

Answer 3

Hay muchas maneras de "proyecto" sobre un subespacio. Esta en particular la proyección de los rendimientos de una descomposición ortogonal.

Dado los vectores $v$ y $w$ ($w \not=0$), $a = \mathrm{proj}_w(v) = \frac{v \;\cdot\; w}{|w|^2}w$ y $b = v - a = v - \mathrm{proj}_w(v)$. Tenemos que

• $v=a+b$
• $a$ es paralelo con $w$
• $a$ $b$ son ortogonales (comprobar que la $a \;\cdot\; b=0$).

Hay otros "proyecciones" para que $v=a+b$ $a$ es paralelo con $w$. Por ejemplo: supongamos $a=w$$b=v-w$. A continuación, $v=w+(v-w)=a+b$ $a=w$ es paralela a sí misma (i.e $w$). Pero, en general, $v-w$ $w$ no son ortogonales.

Answer 4

Realmente podemos proyectar con respecto a cualquier vector en una base, como sigue: si $v_1,\ldots, v_n$ es una base para el espacio del vector, entonces la proyección del vector $a_1 v_1 + \ldots + a_n v_n$ en $a_n$ con respecto a esta base es $a_n v_n$. Tenga en cuenta que la proyección depende de la opción de base.

Si tuviera que tomar una base ortogonal que contiene $u$, entonces la definición de proyección ortogonal coincidiría con el anterior, más general, definición de proyección.

Answer 5

Porque línea a lo largo de que punto de su original viaje a proyectiva plano es ortogonal al plano proyectivo. En este contexto sinónimo es ortogonal perpendicular que creo que es más frecuente y también la palabra undertstood.