¿Cómo probar $\lim_{x\to 0}f(x) = 0\iff\lim_{x\to 0}xf(x) = 0 $?

Question

Que $f:R \rightarrow R$ tal que $$| f(x+y)-f(x)-f(y) |\le |x-y|,$$ for all $x, y \in R.$ How can I prove that $$\lim_{x\to 0}f(x) = 0\iff\lim_{x\to 0}xf(x) = 0? $$

Answer 1

$(\implies)$

Sencillo.

$(\impliedby)$

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Edit: Siguientes David C. Ullrich comentario, me volví hacia el wlog suposición $f \geqslant 0$ uso de $|f(x)|$ en lugar de $f(x)$ en todas partes.

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La primera nota que la sustitución de $x = y$ rendimientos $|f(2x) - f(x) - f(x)| \leqslant 0$, lo $f(2x) = 2f(x)$ por cada $x \in \mathbb{R}$.

Supongamos que $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) \neq 0$. Vamos a demostrar que también se $\displaystyle \lim_{x \to 0} x \cdot f(x) \neq 0$.

Existe el $\varepsilon > 0$ que hay arbitrariamente pequeño $x \neq 0$$|f(x)| \geqslant \varepsilon$. Deje $\delta > 0$. No es $x \neq 0$ que $|x| < \delta^2$$|f(x)| \geqslant \varepsilon$. No hay una única $n \in \mathbb{N}$ tal que $\frac{\delta}{2} \leqslant |x| \cdot 2^n < \delta$ y, a continuación,

$$|f(x \cdot 2^n)| = 2^n \cdot |f(x)| \geqslant \frac{\delta}{2 |x|} \cdot \varepsilon > \frac{\delta}{2 \delta^2} \cdot \varepsilon = \frac{\varepsilon}{2 \delta}.$$

Por lo tanto $|x \cdot 2^n| < \delta$ y

$$|x \cdot 2^n| \cdot |f(x \cdot 2^n)| \geqslant \frac{\delta}{2} \cdot \frac{\varepsilon}{2 \delta} = \frac{\varepsilon}{4}.$$

Answer 2

@David, no puedo comentar (no suficiente reputación), pero no de $f(x)=1$ la primera hipótesis en $x=y=1$.

Answer 3

De derecha a izquierda

Si $x=y$, tenemos $$ | f(2x)-2f (x) | \le | x-x | \Longrightarrow f (2 x) = 2f (x) \Longrightarrow f (x) = ax, $$ donde $a$ es una constante, y la declaración es evidente.