Mostrar $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$ diverge.

Question

Quiero demostrar a $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$ diverge. Yo al principio quería usar la prueba de comparación, pero no podía llegar con una serie que es, obviamente, menos de $\frac{1}{n\ln n}$ que se bifurca.

Así que me mudé a la integral de la prueba. El problema aquí es que necesito mostrar que $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ es continua en a $[2,\infty)$, el uso de $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad. Me han dado teoremas que me acaba de afirmar que $\ln x$ es continua en el intervalo, como sé que $1$ es continua, $x$ es continua, y por tanto si $\ln x$ es continua, entonces como tenemos una composición de funciones continuas, $\frac{1}{x\ln x}$ será continua en $[2,\infty)$. El problema que tengo es que muestra $\ln x$ es continua.

De nuevo me quedé atrapado haciendo esto. Y ahora se siente como que he completamente sobre-las cosas complicadas. Tengo que ser riguroso a la hora de mostrar que esta serie diverge, pero sólo hemos sido dada una cierta cantidad de herramientas a utilizar. No podemos usar de Cauchy de la prueba de condensación, y si deseo utilizar la integral de la prueba que tengo para mostrar que $f(x)$ es monótona (fácil) y también que $f(x)$ es continua (y la única herramienta que tenemos para que se $\epsilon$-$\delta$).

He visto que hay preguntas muy similares a este en el sitio, pero no particularmente ayudar en mi caso.

He perdido de algo? Gracias por su tiempo.

EDIT: Gracias a todos por su ayuda. Muy apreciada!

Answer 1

Para mostrar la continuidad, tal vez Utilice este método para mostrar la continuidad, más que el enfoque de epsilon-delta.

Para un punto arbitrario $y$ en su conjunto, considera cualquier convergente secuencia de $x_n$ $y$.

Pero vemos que el $f(x_n) \to f(y)$, que, por definición, muestra que el $f$ es continuo, según sea necesario.

Answer 2

Prueba de condensación de Cauchy: Si $(x(n))_{n\in N}$ es monotónica para suficientemente grande todas las $n$, $\sum_{n\in N}x_n$ converge iff $\;\sum_{n\in N}2^n x(2^n)$ converge.

Tenemos $x(n)=1/(n\ln n)$ $n\geq 2,$ $2^n x(2^n)=1/(n\ln 2)$ $n\geq 2.$ aplicar otra vez la prueba de Cauchy a $(y(n))_{n\in N}$, donde $y(n)=1/(n\ln 2),$ tenemos $2^ny(2^n)=1/\ln 2.$ y $\sum_{n\in N}1/\ln 2=\infty.$por lo tanto $\sum_n x_n$ diverge.

Esto (repetido) obras de prueba constante $k$ $x_n=n^{-k},$ $x_n=^*[n (\ln n)^k)]^{-1},$ $x_n=^*[(n\ln n )(\ln (\ln n))^k]^{-1},$ etc., donde, $=^*$, significa "igual para todos sino finito muchos $n$."