Estoy confundido por un paso en el Gamelin y Greene prueba de la Categoría de Baire Teorema.
Aquí está el inicio de la prueba.
Teorema: Vamos a $\{U_n\}_{n=1}^{\infty}$ ser una secuencia de densa abrir los subconjuntos de un espacio métrico completo $X$. A continuación, $\cap_{n=1}^{\infty}U_n$ también es denso en $X$.
Prueba: Supongamos $x \in X$ y deje $\epsilon > 0$. Basta con encontrar $y \in B(x;\epsilon)$ que pertenece a $\cap_{n=1}^{\infty} U_n$. De hecho, cada bola abierta en $X$ cumple con $\cap U_n$, por lo que el $\cap U_n$ es denso en $X$.
Desde $U_1$ es denso en X, existe $y_1 \in U_1$ tal que $d(x,y_1) < \epsilon$. Desde $U_1$ es abierto, existe $r_1 > 0$ tal que $B(y_1;r_1) \subset U_1$.
... hasta ahí todo bien, llego a este punto. Continúan...
Por la reducción de la $r_1$, podemos organizar $r_1 < 1$, e $\overline{B(y_1;r_1)} \subset U_1 \cap B(x,\epsilon)$.
Esto es donde estoy confundido. No me gusta este difusa uso de "reducir" aquí, pero conseguir lo que quiere decir que yo piense. Veo que nos podría reducir el $B(y_1;r_1)$ como indican, pero no veo cómo el cierre de la $\overline{B(y_1;r_1)}$ puede ser reducido. Podría haber un inusual espacio métrico donde la pelota es denso en $X$ o algo similar que no podemos pensar de primeras que haría imposible? ¿Cómo podemos estar seguros de que esto es cierto en general de una manera rigurosa?
Gracias por tu ayuda.
