Límite de desigualdad integral con el no aumento función y integral

Question

Sea $f,g$ dos funciones integrables en $[a,b]$ con $f$ no aumento y $0\le g\le 1$. Que $$\lambda=\int_a^b g(x)dx$ $ demostrar que $$\int_{b-\lambda}^b f(x)dx\le \int_a^b f(x)g(x)dx$ $

Has probado a transformar esta desigualdad en $\int_{b-\lambda}^b f(x)(1-g(x))dx\le \int_a^{b-\lambda} f(x)g(x)dx$ y calcular dos lados con la condición de no aumentar de $f$de %, pero no saben cómo lidiar con $\lambda$. También intenté aplicando el teorema del valor intermedio para escribir $\lambda=(b-a)g(t)$ $t\in [a,b]$, pero todavía no se pudo continuar. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, que $a = 0$. Definir\begin{align*} h(b) = \int_0^b f(x)g(x) dx - \int_{b - \lambda_b}^b f(x) dx \end{align*} donde $\lambda_b = \int_{0}^{b}g(x) dx \ge 0$. Por lo tanto tenemos\begin{align*} h'(b) = f(b)g(b) - [f(b) - f(b - \lambda_b)(1-g(b))] = [f(b - \lambda_b) - f(b)][1 - g(b)] \end{align*} ahora no aumento $f$ $\implies f(b - \lambda_b) \ge f(b)$ y $g(b) \in [0, 1] \implies 1 - g(b) \ge 0$, por lo tanto, $h'(b) \ge 0$ y $h$ son una función no decreciente. Esto implica que el $h(b) \ge h(0)$ % todo $b \ge 0$y es fácil comprobar que $h(0) = 0$, y el resultado sigue.