Convergencia de$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n\log n}{e^n}?$

Question

Cómo probar la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n\log n}{e^n}?$

Answer 1

La prueba de razón es, probablemente, la mejor herramienta para utilizar en este caso (y en muchos otros ejemplos), pero también puede utilizar la integral de la prueba.

Deje $f(x)=x\log x/e^x$. Claramente $f(x)$ es positivo para todos los $x > 1$. Por otra parte $f(x)$ es la disminución de, al menos, en $[e,\infty)$. De hecho, $$f'(x) = \frac{1+(1-x)\log(x)}{e^x}$$ así que si $x\geq e$, entonces el numerador de $f'(x)$ es de menos de $1+(1-e)<0$. Por lo tanto $f'(x)<0$$x\geq e$, e $f$ está disminuyendo. Por lo tanto, podemos aplicar la integral de la prueba en la serie a $\sum_{n=1}^\infty f(n)$.

La serie $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ converge si y sólo si $\sum_{n=3}^\infty f(n)$ converge y esta serie, por la integral de la prueba, converge si y sólo si $\int_3^\infty f(x)dx$ converge. Ahora:

$$\int_3^\infty f(x) dx = \lim_{N\to \infty} \int_3^N \frac{x\log x}{e^x} dx \leq \lim_{N\to \infty} \int_3^N \frac{x^2}{e^x} dx = \lim_{N\to\infty} [-e^{-x}(x^2+2x+2)]_3^N$$ $$ = \lim_{N\to\infty} -\frac{N^2+2N+2}{e^N}+\frac{17}{e^3}=\frac{17}{e^3}.$$ Puesto que la integral impropia converge, llegamos a la conclusión de que la serie $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ converge así.

Answer 2

Como de costumbre, me encanta la prueba de proporción de D'Alemberts:

$$a_n:=\frac{n\log n}{e^n}\Longrightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)\log(n+1)}{e^{n+1}}\frac{e^n}{n\log n}=$$ $$=\frac{n+1}{n}\frac{\log(n+1)}{\log n}\frac{1}{e}\xrightarrow[n\to\infty]{}\frac{1}{e}<1$$

y así la serie converge.

Answer 3

Usted puede mostrar fácilmente \frac{n\log n}{e^n}=O\left(\frac{1}{n^2}\right) $$. $$ Todo lo que tienen que hacer es comprobar que $$ \lim_{n\rightarrow + \infty}n^2 \cdot\frac{n\log n} {e ^ n} = 0. $$

Concluye entonces que la serie converge (absolutamente, por supuesto) en comparación con el % de la serie de Riemann $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^2}$.

Answer 4

Otro Consejo:

$$\lim_{n\to\infty}n^{2}\times\frac{n\log(n)}{\exp(n)}=0<\infty$ $ así que converge.

Answer 5

En primer lugar tenga en cuenta que $e^n > n^4$ $n$ suficientemente grande. Es decir, en primer lugar demostrar que hay un $K$ tal que $e^n > n^4$ % todos $n\geq K$.

Entonces usted tiene $n\geq K$ también que $\log(n) < n$ y lo $$ \frac{n\log(n)} {e ^ n} < \frac{n\log(n)} {n ^ 4} < \frac{n^2}{n^4} = \frac{1}{n^2}. $$ Por lo tanto se puede comparar la secuencia $\sum\frac{1}{n^2}$.