Estoy trabajando en un problema de Dummit & Foote del Álgebra Abstracta y estoy un poco confundido acerca de una parte del problema. El problema dice:
Deje $K$ ser una extensión de $F$ grado $n$.
$\bf\text{(a)}$ Cualquier $\alpha\in K$ demostrar que $\alpha$ actuar por la izquierda de la multiplicación en $K$ es una $F$-transformación lineal de $K$.
$\bf\text{(b)}$ Demostrar que $K$ es isomorfo a un $\bf\underline{subfield}$ de el anillo de $n\times n$ matrices de más de $F$, por lo que el anillo de $n\times n$ matrices de más de $F$ contiene una isomorfo copia de cada extensión de grado $\leq n$.
Ya he trabajado $\bf\text{(a)}$, es la parte en $\bf\text{(b)}$ sobre un "$\bf\underline{subfield}$ de el anillo de $n\times n$ matrices" que estoy un poco confundida.
Lo que he hecho hasta ahora, se define un mapa de $\psi:K\to M_{n}(F)$ $K$ a el anillo de $n\times n$ matrices de más de $F$ $\psi(\iota)=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(T_{\iota})$ donde $\iota$ es cualquier elemento de $K$, $\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(T_{\iota})$ es la matriz que representa la $F$-transformación lineal $T_{\iota}:K\to K$, con respecto a una base $\mathcal{B}$ del espacio vectorial $K$.
Fácilmente puedo establecer que $\psi$ es un inyectiva homomorphism que es surjective a su imagen en $M_{n}(F)$ y desde $K$ es un campo cada distinto de cero $\alpha\in K$ tiene una inversa $\alpha^{-1}\in K$, de modo que $\psi(\alpha^{-1})=\psi(\alpha)^{-1}\in M_{n}(F)$.
Para esto se establece un isomorfismo entre el $K$ y la imagen de $K$ bajo $\psi$.
Esta es la parte que estoy confundido acerca de: los elementos en $\text{im}\,(\psi)$ son elementos de la no conmutativa anillo de $n\times n$ matrices de más de $F$. ¿Cómo es que $\text{im}\,(\psi)$ es un subcampo de la $M_{n}(F)$ si es un subcampo es conmutativa y $M_{n}(F)$ es no conmutativa anillo?
Debo mencionar que soy un estudiante universitario de posgrado de la Teoría de Galois curso y mi álgebra lineal es un poco débil. Así que si me he dejado fuera algunos importantes o iluminar los detalles que me gustaría apreciamos mucho que ellos señaló.
