Ningún subgrupo de $S_5$ con un orden de 40

Question

¿Cómo se puede demostrar que no hay subgrupos de $S_5$ ¿con la orden 40?

Gracias.

Answer 1

Todo subgrupo de $S_n$ es todo par o medio par y medio par.

Supongamos que $H$ es un subgrupo de orden 40 en $S_5$ .

Caso 1: $H$ está todo igualado. Entonces $A_5$ tiene un subgrupo de orden 40. Esto es absurdo ya que 40 no divide $|A_5|=60$ .

Caso 2: $H$ es medio par y medio impar. Así, $K = H \cap A_5$ es un subgrupo de $A_5$ de orden $40/2=20$ . Considere $A_5$ actuando sobre los cosets izquierdos de $K$ : $\sigma \cdot \tau K = (\sigma\tau)K$ . Por lo tanto, tenemos $A_5$ actuando de forma no trivial sobre un conjunto de 3 elementos (el índice de $K$ en $A_5$ es $60/20=3$ ). Pero $A_5$ es simple por lo que cualquier acción no trivial es fiel -- es decir -- la representación de permutación correspondiente $\varphi:A_5 \to S_3$ es inyectiva. Pero esto es absurdo ya que $|A_5|=60 > |S_3|=6$ .

Por lo tanto, no puede existir tal subgrupo.

Answer 2

Si tal subgrupo $H$ existe, entonces el núcleo normal $N$ de $H$ en $S_5$ ha pedido 20 o 40. En ambos casos un subgrupo Sylow 5 $P$ de $N$ es característico en $N$ . Por lo tanto, $P$ es normal en $S_5$ . Sin embargo, $\langle (12345)\rangle$ y $\langle (12354)\rangle$ son dos subgrupos Sylow 5 distintos de $S_5$ una contradicción.

En general, un grupo de orden 120 que tiene dos subgrupos Sylow 5 distintos no puede tener un subgrupo de orden 40.