Usando la función generatriz de probabilidad para encontrar la probabilidad de extinción definitiva

Question

Estoy teniendo problemas con una pregunta de examen, de un pasado del papel, la ayuda sería apreciada:

Deje $ X_n $ el número de portadores de un nombre de la familia en el $n$ª generación y supongamos $ X_0=a $. Supongamos que la probabilidad de que un hombre individual es el progenitor de exactamente $k$ de los niños es

$ p_k=(1-α)(1-p)p^{k-1} $, donde $ k\ge1 $, $ p_0=α $

Hallar la probabilidad de la generación de la función de $ X_1 $ y obtener la probabilidad de extinción definitiva de el nombre de la familia.

Creo que esta es una modificación de la distribución geométrica, y para encontrar el pgf he utilizado

$ \pi(s)=\sum_{x\ge0}p_xs^x $

Por lo tanto, dejando $q=1-p$ que he encontrado para esta distribución:

$$ \pi(s)= p_0s^0 + \sum_{k\ge1}(1-α)(1-p)p^{k-1}s^k= α + (1-α)qs\sum_{k\ge1}(ps)^{k-1}, $$ es decir, $$ \pi(s)= α + (1-α)qs\sum_{j\ge0}(ps)^{j} = α + (1-α)\frac{q}{1-ps} $$

Yo estoy seguro de si lo he hecho correctamente esta parte y estoy muy pegado con donde puedo ir de este a encontrar la probabilidad de final de la extinción.

Cualquier ayuda/sugerencias/explicación para esta pregunta sería muy apreciada!

Answer 1

% Probabilidad $z$de extinción de un proceso homogéneo de ramificación a partir de partículas de $1$ es la más pequeña raíz no negativa de la ecuación de $z=f(z)$, donde $f$ denota la función de generación del número de hijos de cualquier persona. Aquí, $$f(s)=\alpha+(1-\alpha)(1-p)s/(1-ps),$$ hence $ s=f(s)$ reads $ps^2-(\alpha+p)s+\alpha=0$, that is, $(s-1)(ps-\alpha)=0$, por lo tanto, $$z=\min\{\alpha/p,1\}.$$ The probability of extinction starting from $ $ particles is $z ^ a$.