Si el producto tensor de álgebras de $A \otimes B$ es unital, tanto en $A$ $B$ debe ser unital

Question

Está claro que si $A$ $B$ son unital álgebras (a través de un campo), entonces el producto tensor $A \otimes B$ también es unital, con la unidad de $1_A \otimes 1_B$. Me llegó a través de un ejercicio de preguntas acerca de la inversa de la declaración. Es decir, si $A \otimes B$ es unital distinto de cero álgebra, a continuación, $A$ $B$ también debe ser unital.

Empecé denotando $e$ la unidad de $A \otimes B$. Podemos escribir $e = \sum_{i=1}^{n} a_i \otimes b_i$, $n$ es mínima. Este minimality implica que $a_1, \cdots, a_n$ $b_1, \cdots, b_n$ son linealmente independientes. Si podemos demostrar que $n = 1$, $e = a \otimes b$ es un puro tensor. Estos elementos $a \in A$ $b \in B$ son los candidatos ideales para las unidades en $A$$B$, respectivamente. Sin embargo, no he sido capaz de llegar a una contradicción si $n > 1$ utilizando sólo las herramientas básicas y cálculos de los tensores. Dado que ninguna de las propiedades de $A$ o $B$ se supone, yo no sé qué otras herramientas se pueden utilizar en esta generalidad.

Nota: Dicho ejercicio se puede encontrar en la Introducción al Álgebra no conmutativa por M. Bresar, capítulo 4, página 104.

Answer 1

Yo era capaz de encontrar una respuesta positiva gracias a mi profesor que, hasta donde yo sé, no está presente en M. SE. Voy a escribir una prueba basada en la idea de que él me dio, que es su crédito.

Vamos $A$, $B$ ser álgebras sobre un campo $F$ y supongamos $A \otimes B$ es distinto de cero y unital. Desde $A \otimes B$ es distinto de cero, entonces ambos $A$ $B$ son cero. Tome $0 \neq x \in A$ $y \in B$ arbitrarias de elementos. Escribir $e = \sum_{i=1}^{n} a_i \otimes b_i$ (como lo hice yo en la pregunta). Desde $e$ es la unidad en $A \otimes B$, tenemos

\begin{align} x \otimes y = (x\otimes y)e = \sum_{i=1}^{n} xa_i \otimes yb_i \tag{1}. \end{align}

Además, desde el $x \neq 0$, podemos expandir $x$ a una base de $A$ y, por lo tanto, escribir $xa_i = \lambda_ix + v_i$ donde $\lambda_i \in F$ $v_i$ es linealmente independiente con $x$. Conectando a $(1)$, obtenemos

\begin{align} x \otimes y = \sum_{i=1}^{n} (\lambda_i x +v_i)\otimes yb_i = x \otimes\sum_{i=1}^{n} \lambda_i y b_i + \sum_{i=1}^{n} v_i \otimes yb_i \tag{2}\end{align}

o, equivalentemente, después de arreglar los términos

\begin{align} x \otimes (y - \sum_{i=1}^{n}\lambda_i y b_i)= \sum_{i=1}^{n} v_i \otimes yb_i \tag{3}.\end{align}

Desde $x$ es linealmente independiente con cada una de las $v_i$, llegamos a la conclusión de que

\begin{align} y = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i y b_i = y (\sum_{i=1}^{n} \lambda_ib_i) \tag{4}\end{align}

(a través de un resultado sobre la independencia lineal de tensor de productos, por ejemplo, Lema 4.8 en Bresar).

De forma análoga, el uso de $x \otimes y = e(x \otimes y)$, podemos concluir que $y = (\sum_{i=1}^{n} \lambda_ib_i)y$ y desde $y \in B$ es arbitrario, esto significa que $\sum_{i=1}^{n} \lambda_ib_i$ es la unidad de $B$.

El mismo argumento funciona para demostrar que $A$ tiene unidad de medida.