Si $ds$ no es una forma diferenciada, puedo hacer sentido de su intuitiva notación de alguna manera?

Question

Entiendo que un elemento línea no es en realidad una forma diferenciada, pero un $1$-densidad. Mi pregunta es: es la notación $ds^2 = dx^2 + dy^2$ formal de alguna manera? Puede ser interpretado como externo o tensor de productos? Es simplemente una informales de manera útil para describir una integrable objeto?

Creo que un straightforeward interpretación de $ds^2$ como el producto exterior de dos vectores con valores de formas diferenciales no es posible, pero, ¿hay alguna otra manera puedo mirar ar esto?

Después de mirar en los otros puestos relacionados con este mismo tema, tales como ¿por Qué es la longitud del arco no una forma diferenciada? y Es $ds$ diferencial de la forma? Todavía no puedo encontrar una manera útil de pensar acerca de este problema en particular.

Answer 1

$ds^2$ es un simétrica covariante $2$-tensor; es decir, esta notación es clásica la abreviatura de $ds^2 = dx\otimes dx + dy\otimes dy$, y evaluamos la integral de línea $$\displaystyle\int_C ds = \int_C \sqrt{ds^2} = \int_a^b \sqrt{g^*(dx\otimes dx+dy\otimes dy)} = \int_a^b |g'(t)|dt,$$ para cualquier parametrización $g\colon [a,b]\to\Bbb R^2$$C$, como se esperaba. Por supuesto, $ds$ no $1$-forma porque $ds(v) = \sqrt{ds^2(v,v)}$ es no lineal en $v$.