La prueba que involucran los números primos de la forma $5k+1$ $5k+4$

Question

Estoy teniendo problemas para averiguar cómo probar esto:

Si $p$ es un claro no es igual a $2$ ni $5$, e $n$ es cualquier entero, muestran que $p$ debe ser de la forma $5k+1$ o $5k+4$ si $p \mid (n^2 - 5)$.

Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

Utilizando el Símbolo de Legendre y el Teorema de la Reciprocidad Cuadrática,

$p\mid(n^2-5)\iff n^2\equiv5\pmod p\implies \left(\frac5p\right)=1$

$$\left(\frac p5\right)\left(\frac5p\right)=(-1)^{\frac{p-1}2\frac{5-1}2}=1$$ for odd prime $n$

Por eso, $\left(\frac5p\right)=\left(\frac p5\right)$

Ahora, $(5k\pm1)^2\equiv1\pmod 5, (5k\pm2)^2\equiv4\pmod 5$

Por eso, $\left(\frac p5\right)=1\iff p\equiv1,4\pmod 5$