¿Todos los buenos matemáticos dominan los aspectos computacionales de las matemáticas

Question

Estoy en el primer año de la universidad. Me gusta estudiar Álgebra Abstracta del libro de Michael Artin y Cálculo de los libros de Apostol. Sin embargo, no fui muy bueno en la computación de cosas como derivados/integrales etc. usándolos, y de hecho, me salté aquellas partes que requerían cálculos o manipulaciones de las cosas pero llegué a ver las cosas más clara y profundamente y disfruté escribiendo pocas pruebas y leyendo muchas.

Para ser un matemático de éxito, ¿es necesario ser bueno en los cálculos, ser capaz de calcular rápidamente las inversiones de las transformaciones lineales, integrar algunas funciones complejas, resolver algunas ecuaciones diferenciales difíciles, etc. o depende de la propia elección? ¿La física requiere que seas bueno en los aspectos computacionales?

Answer 1

Para ser un matemático exitoso, ¿es necesario ser bueno haciendo cálculos, ser capaz de calcular rápidamente las inversas de las transformaciones lineales, integrar algunas funciones complejas, resolver algunas ecuaciones diferenciales difíciles, etc. o depende de la propia elección?

Sí y no. Estrictamente hablando, si nos atenemos a su definición de "invertir rápidamente las transformaciones lineales, calcular integrales, resolver ecuaciones diferenciales", entonces la respuesta es no . Estudio ecuaciones diferenciales parciales para vivir, pero si usamos Arnold como una vara de medir de ninguna manera soy bueno en nada de lo anterior.

Pero para cada campo que elijas estudiar, habrá algunos cálculos involucrados, y en los que tendrás que ser bueno. Por ejemplo, por necesidad debido al campo que estudio, me he vuelto bastante bueno analizando y simplificando las expresiones tensoriales usando propiedades de simetría y haciendo ciertos cálculos aritméticos relacionados con el análisis dimensional. Algunos de mis amigos en topología algebraica son muy buenos en grupos fundamentales de computación . También consideraría Persecución de diagramas una habilidad computacional. Y mientras estamos en el tema de los cálculos sin números, algunos de los trabajos modernos en topología de baja dimensión y teoría de nudos contienen algunos asombrosos "cálculos" . Y no he dicho nada sobre las cosas que los teóricos de números analíticos tratan regularmente.

Sin embargo, no fui muy bueno en la computación de cosas como derivados/integrales, etc., usándolos, y de hecho, me salté aquellas partes que requerían cálculos o manipulaciones de las cosas, pero llegué a ver las cosas más clara y profundamente y disfruté escribiendo pocas pruebas y leyendo muchas.

¿Estás seguro de que llegaste a ver las cosas más clara y profundamente?

En todas las ramas de las matemáticas, los matemáticos suelen andar por ahí llevando en la cabeza una lista de (contra)ejemplos fundamentales. Cuando nos enfrentamos a una conjetura, a menudo la contrastamos rápidamente con nuestros (contra)ejemplos fundamentales conocidos para evaluar la probabilidad de que sea cierta. No se obtiene la intuición sobre esos ejemplos por pura abstracción! La intuición se obtiene jugando con las pruebas de los teoremas, empujándolos a ver cuándo y dónde se rompen, y computando objetos explícitos para desarrollar su heurística.

Los ejercicios en libros como el de Artin Álgebra no están sólo para llenar el espacio. Déjeme citar Jordan Ellenberg para un ejemplo reciente: él y un coautor fueron capaces de generalizar un resultado en la geometría aritmética en parte porque

Todos los que hicimos los problemas en Hartshorne sabemos de la suave curva del avión sobre $F_3$ con cada punto un punto de inflexión. ... Nunca he necesitado recordar ese problema particular de Hartshorne en mi vida hasta ahora.

Ese tipo de pepitas se acumulan con el tiempo en tu desarrollo como matemático. Preferiría no recomendar la omisión de ejercicios y cálculos como un hábito.

Answer 2

Creo que, sin importar el tipo de matemáticas que hagas, eventualmente llegarás a fórmulas enormes de aspecto feo. Y tendrás que trabajar con estas fórmulas, y no sólo descartarlas como "cálculos".

No será necesariamente una integral compleja, un PDE o lo que sea; tal vez será un enorme diagrama conmutativo, o una secuencia espectral, no lo sé. Pero la capacidad de enfocar, hacer grandes cálculos con una mínima cantidad de errores, y no rendirse incluso cuando la cosa parece muy complicada, es muy importante.

Re: su comentario, los objetos abstractos y los teoremas no salen de la nada. Es usualmente después de una tremenda cantidad de trabajo que encuentras la definición correcta, el teorema correcto para probar, la prueba correcta... Y ese trabajo implica cálculos.

Y este es el tipo de cosas que sólo se pueden aprender practicando. Resulta que las integrales, las ED... son problemas accesibles en una etapa temprana y que pueden entrenarte en ese sentido. Así que sí, deberías hacer tu tarea de Cálculo III.

Answer 3

Cuando se empieza a aprender matemáticas, se tiene la ilusión de que hay una hermosa teoría, que de alguna manera se ve obstaculizada por los cálculos. Puedes llegar al núcleo de la teoría sin hacer los cálculos. Si sólo quieres aprender a leer matemáticas, esto es cierto en gran medida. Especialmente en el álgebra (lineal), la mayoría de los cálculos parecen innecesarios para entender la belleza subyacente de la teoría.

Sin embargo, cuando aprendas más y quieras realmente HACER matemáticas, las cosas se pondrán feas, si temes calcular una integral o seguir los pasos de una estimación larga, porque esto es lo que encontrarás. La mayoría de los resultados no son refinados, sin embargo, son feos, nadie sabe, cuál es la verdadera estructura subyacente. Sólo con el tiempo y el sudor la gente destilará lentamente la esencia (tal vez quieras llamarlo la "intuición") que hay detrás de la teoría e identificará las partes que son "sólo cálculos". Entonces, uno puede ir y enseñar a un ordenador a hacerlo.

Especialmente en las áreas analíticas de las matemáticas, encontrarás documentos enteros dedicados a encontrar estimaciones o a mejorar las estimaciones, etc. y todo este es un trabajo que, si quieres probar una estimación por ti mismo, necesitas saber cómo hacerlo, y son básicamente cálculos y trucos que adquieres con el tiempo. Hay toda una caja de herramientas, que todo matemático lleva consigo y la mayoría de ellas implican cálculos. Incluso en temas que parecen más alejados de los cálculos, normalmente empezarás a entender las cosas sentándote y trabajando con ejemplos sencillos, ajustando un poco el número, etc.

Todos los matemáticos que conozco sólo usan las computadoras en dos situaciones: - necesitan tener una idea de lo que podría estar pasando y escribir simulaciones. - necesitan calcular algo, pero los detalles son tediosos, es decir, ya saben cómo debería ser el resultado, porque hicieron un cálculo/estimación aproximado, pero acertar con todas las constantes es un desastre, así que lo meten en un ordenador.

Answer 4

Creo que la respuesta es sí y no.

Porque sí, el cálculo es un procedimiento básico en todas las ramas de las matemáticas. Es difícil admitir que uno conoce un resultado sin saber cómo obtenerlo. Para los principiantes, el cálculo es importante porque hacer el cálculo ayuda a uno a tocarlo y sentirlo en cada paso y luego establecer una intuición y creencia de que la cosa es precisamente correcta. ¿Cómo se puede correr sin caminar primero? Además, la computación detallada contribuye a hacer la inducción y la formación de cosas abstractas.

Porque no, una vez que se entiende el procedimiento de la computación y se cree que se puede hacer bien tarde o temprano, la computación es en realidad una cosa innecesaria porque ya hay mucho software haciendo eso. Es útil para los matemáticos pensar sólo en las grandes ideas e ignorar los cálculos detallados.

En general, los matemáticos pueden no ser buenos en esto, pero deben serlo siempre.

Answer 5

Si incluyes la aplicación de axiomas o transformaciones como parte de las derivaciones o pruebas como cálculos, entonces, sí, deberías hacerlos bien. Si uno es pobre en copiar expresiones largas con las sustituciones adecuadas, entonces hay una respuesta moderna. Es usar una aplicación como Mathematica (con la que estoy familiarizado y a la que hago referencia, pero hay otras).

El truco consiste en sustituir una habilidad, la copia sin errores (y nítida) de expresiones largas por la sustitución o la transformación, por otra habilidad, escribiendo reglas y rutinas que especifiquen los axiomas y las transformaciones y aplicándolas. Sostengo que la segunda habilidad puede no ser más rápida de usar, pero es menos propensa a errores y está más concentrada en las matemáticas reales.

Un segundo truco, al usar Mathematica, no es considerarlo como un bloc de notas, o una calculadora súper gráfica, o una hoja de trabajo de programación, o un procesador de palabras matemáticas (aunque en parte es todas estas cosas), sino como una hoja de papel en blanco en la cual usted está desarrollando/aprendiendo y escribiendo sus matemáticas. Podría, debería, en realidad, contener la organización seccional y la descripción textual y la discusión, así como los cálculos. Es una hoja de papel bastante mágica porque tiene memoria, puede hacer cálculos activos, puede acumular conocimientos (en las definiciones, reglas y rutinas que especifique), puede contener hermosos gráficos y presentaciones dinámicas de varios tipos.

El siguiente truco es hacer un intento sincero de calcular todo. No lo rellenes con un procesador de textos. No pretendo, o no estoy seguro, de que esto pueda hacerse siempre, pero una amplia y profunda franja de las matemáticas se puede hacer por cálculo informático. Esto tiene varias ventajas: todo el cálculo, derivación o prueba está en gran medida autodidacta en el sentido de que los cálculos no funcionarán con errores de entrada; el punto de partida (axiomas, teoremas y transformaciones utilizados) debe estar presente, a veces un tema confuso para los estudiantes; la brecha entre el punto de partida y el resultado deseado está más claramente definida para un investigador o un estudiante.

Como cualquier documento de computadora uno puede revisar y editar. Podrías tener el Intento 1, el Intento 2, etc., en secciones separadas y luego tirar los intentos fallidos. No tienes que seguir copiando la expresión inicial a mano. El documento terminado es útil y puede ser consultado en el futuro o añadido. El conocimiento acumulado podría ser pasado a otros cuadernos o hacia arriba a los paquetes utilizados por otros documentos de cuaderno. Hay enormes ventajas en este enfoque.

Las desventajas son que necesitas tener la aplicación de Mathematica y que hay una curva de aprendizaje extendida. Es poco probable que usted pueda comprarlo y luego comenzar a usarlo por sí mismo para cualquier problema matemático significativo.