La media del valor de la propiedad para holomorphic funciones

Question

La media del valor de la propiedad para holomorphic funciones de los estados que si $f$ es holomorphic en un abrir disco centrado en $z_{0}$ radio $R$, luego $$f(z_{0}) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0} + re^{i\theta})\, d\theta$$ para cualquier $0 < r < R$. Cuando puedo decir que esto es cierto para $r = R$?

Answer 1

Como Henning menciona en su comentario, la condición es que $f$ es continua en el disco cerrado $\{z:|z-z_0|\le R\}$. Cuando ese es el caso, $f$ es uniformemente continua (como es continua en un conjunto compacto) y así para cualquier $\epsilon>0$, hay un $\delta>0$, de modo que si $0<R-r<\delta$, luego $$ |f(z_0+Re^{i\theta})-f(z_0+re^{i\theta})|<\epsilon $$ Por lo tanto, $$ \left|\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left(f(z_0+Re^{i\theta})-f(z_0+re^{i\theta})\right)\;\mathrm{d}\theta\right|<\epsilon $$