Demostrar que $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$ es una métrica en $\mathbb{R}$ (desigualdad triangular)

Question

Demostrar que $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$ es una métrica en $\mathbb{R}$ .

Definición. Una función $d:E \times E \mapsto [0, \infty)$ se llama métrica si siempre que $x,y,z \in E$ ,

1. $d(x,y) = 0$ si y sólo si $x=y$ ,

2. $d(x,y) = d(y,x)$ ,

3. $d(x,y) \le d(x,z) + d(y,z).$

Las dos primeras propiedades son muy sencillas de mostrar. Tengo problemas para mostrar la propiedad (3).

Lo que tengo hasta ahora es $$d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|} \le \frac{|x-z|}{1+|x-z|}+ \frac{|y-z|}{1+|y-z|} = \frac{|x-z| + 2|x-z||y-z|+|y-z|}{(1+|x-z|)(1+|y-z|)}$$

No estoy seguro de a dónde debo ir desde aquí, o si siquiera estoy yendo en la dirección correcta. Cualquier consejo será muy apreciado.

Answer 1

Como respondió @learnmore, use eso $f(x)=\dfrac x{1+x}$ es una función creciente. Más concretamente, es creciente en $(-\infty,-1)$ y en $(-1,\infty)$ pero sólo tenemos que utilizar que está aumentando en $[0,\infty)$ . Para comprobar que es creciente se puede calcular su derivada $f'(x)=\dfrac1{(1+x)^2}>0$ .

También muestro el gráfico de $f(x)$ .

Así que, ahora podrías considerar los casos:

Caso 1. $|x-y|\le|x-z|$ . Entonces usando eso $f(|x-y|)\le f(|x-z|)$ tenemos:
$\dfrac{|x-y|}{1+|x-y|} \le \dfrac{|x-z|}{1+|x-z|} \le \dfrac{|x-z|}{1+|x-z|} + \dfrac{|y-z|}{1+|y-z|}$ .

El caso cuando $|x-y|\le|y-z|$ se considera de forma similar. Así que sólo queda considerar:

Caso 2. $|x-y|\ge|x-z|$ y $|x-y|\ge|y-z|$ . Entonces tenemos
$\dfrac{|x-y|}{1+|x-y|} \le \dfrac{|x-z|}{1+|x-y|} + \dfrac{|y-z|}{1+|x-y|} \le \dfrac{|x-z|}{1+|x-z|} + \dfrac{|y-z|}{1+|y-z|}$ .

Como has escrito, el resto de axiomas son fáciles de verificar.

Answer 2

Utilice el hecho de que $\dfrac{x}{1+x}$ es una función creciente

Answer 3

Intenta demostrar que $$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}\geq\frac{a+b}{1+a+b}\geq\frac{c}{1+c}$$ siempre que $c\leq a+b$