Hay un $SL(2,\mathbb{Z})$-acción en $\mathbb{Z}$?

Question

Hay un $SL(2,\mathbb{Z})$-acción en $\mathbb{Z}$?

He leído esto en alguna parte sin prueba y no estoy seguro de si esto es cierto.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Deje $SL(2,\mathbb Z)$ actuar en $\mathbb Z^2$ actuar de una manera obvia, ahora chooose su favorito bijection entre el $\mathbb Z^2$ $\mathbb Z$ y listo.

Answer 2

(Esto es completamente diferente a mi primer 'respuesta', que fue simplemente un error.)

Denotar por $\text{End}(\mathbb{Z})$ el semi-grupo de grupo de endomorphisms de $\mathbb{Z}$. Desde $\mathbb{Z}$ es cíclica, es decir, cualquier endomorfismo es determinado por la imagen de el generador de $1$, y desde $1 \mapsto n$ es un endomorfismo para cualquier $n\in\mathbb{Z}$, esto es todo de ellos.

Desde $SL(2,\mathbb{Z})$ es un grupo, todos sus elementos son invertible, por lo que se debe asignar a es invertible endomorphisms, es decir, automorfismos. Obviamente, estas son dadas sólo por $n = \pm 1$ en la nota anterior. Por lo $\text{Aut}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}_2$. Así que la pregunta es: ¿hay un no-trivial homomorphism $\phi : SL(2,\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z}_2$?

Desde $\mathbb{Z}_2$ es Abelian, $\phi$ factor a través de la Abelianisation de $SL(2,\mathbb{Z})$, que es$^*$ $\mathbb{Z}_{12}$. No hay una única surjective homomorphism $\mathbb{Z}_{12} \to \mathbb{Z}_2$, y por lo tanto un único surjective $\phi$, lo que da una única no-trivial de acción de $SL(2,\mathbb{Z})$$\mathbb{Z}$. Por desgracia, no puedo ver de una manera fácil decidir si un determinado $SL(2,\mathbb{Z})$ matriz se asigna a $1$ o $-1$, pero tal vez alguien más pueda.

$^*$Una prueba de esto puede encontrarse en el enlace proporcionado en los comentarios.